Intervallschachtelung zeigen für rekursiv definierte Folge

Question

Comments

Schau mal bei ähnlichen Fragen nach. Diese Aufgabe gab es hier schon öfter in unterschiedlicher Form.

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Habe ein bisschen bei den anderen Fragen geschaut, weiss aber immer noch nicht wie ich zeigen soll, dass es eine Intervallschachtelung ist.

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Schau in die Definition und zeige dass die Eigenschaften einer Intervallschachtelung vorliegen. Bei konkreten Problemen gezielte Fragen stellen.

Answer 1

Du weißt

0 < a < b

an = H(a, b) = 2·a·b/(a + b)

bn = A(a, b) = (a + b)/2

Zeige eventuell das gilt: a < an < bn < b

Also z.B.

a < an --> a < 2·a·b/(a + b) --> a(a - b) < 0 --> erfüllt

Das würde ich jetzt erstmal für die ganze Ungleichungskette versuchen.

Comments

Wieso muss ich a < an < bn < b zeigen?

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Erstens : das musst du gar nicht.

Zweitens : Bei MC heißt es im Index nicht n sondern 1.

Drittens : Bei MC kommt es in der vorletzten Zeile nicht auf --> sondern auf <-- an .

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Ja also die Ungleichungskette habe ich bewiesen, Wie weiss ich jetzt aber, dass es eine Intervallschachtelung ist?

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Du hast jetzt gezeigt:

Wenn du ein Intervall [a ; b] hast dann ist [an ; bn] in diesem Intervall.

Wenn also [an ; bn] unser neues Intervall ist können wir da die Grenzen auch a und b nennen.

Und damit ist [an ; bn] wieder in diesem Intervall mit den umbenannten Grenzen. Damit liegt jedes weitere Intervall im vorherigen Intervall. Und das war zu zeigen.

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Und das war zu zeigen

Sollte heißen : "Und das muss jetzt gezeigt werden,
und danach muss außerdem noch gezeigt werden, dass ..." .

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@hj2144

Bitte schreibe eine eigene Antwort wenn du es besser weißt und Dabi helfen möchtest.

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@hj2144 Deine Kommentare sind nicht gerade produktiv, ich habe verstanden was er sagen wollte und er hat mir so auch weitergeholfen, das ist das was zählt!

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Vielleicht solltet ihr beide mal bei Wikipedia nachschauen, was eine Intervallschachtelung ist.

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Ein einem Intervall wird ein neues Intervall herausgepickt, welches vollständig in diesem ersten liegt.

Aus diesem neuen Intervall wird dann wieder ein Intervall herausgepickt welches volltändig in dem vorherigen liegt.

usw. usw.

Man muss doch damit nur zeigen das das nächste Intervall vollständig in dem übergeordneten enthalten ist.

https://de.wikipedia.org/wiki/Intervallschachtelung

Vielleicht sagst du mal worauf du hinaus willst?

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Erstens wird das nicht nachgewiesen, wenn nur  a < a_n < b_n < b  gezeigt wird, es ist vielmehr ein Induktionsbeweis für  a_n ≤ a_n+1 < b_n+1 ≤ b_n  zu führen (und zwar für alle drei Ungleichheitszeichen, wobei das mittlere vermutlich in Aufgabe 2.5 erledigt wurde).

Zweitens ist zu beweisen, dass die Intervall-Längen  b_n - a_n  eine Nullfolge bilden.

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Wie bereits oben gesagt

Zeige ich über a < a_n < b_n < b dass das nächste Intervall im vorherigen enthalten ist. Hier könnte man auch a <= a_n < b_n <= b schreiben. Das muss man aber nicht wenn sich die Grenzen ändern. Denn wen meines gilt gilt das mit dem gleich ja eh.

Wenn also [an, bn] in [a, b] enthalten ist darf ich die Grenzen von [an, bn] auch wieder a und b nennen und zeige dann damit das das nächste Intervall wieder in [a, b] enthalten ist. Ich mache das damit man hier nicht mit dem n durcheinander kommt.

Ich gebe aber zu das man eventuell lieber schreiben sollte an, bn und an+1, bn+1.

Warum ich jetzt nicht gezeigt habe das es eine Nullfolge ist ist klar. wenn das neue bn das alte Intervall halbiert kann das neue Intervall nur maximal halb so groß sein. Damit ist offensichtlich das die Intervalllängen eine Nullfolge bilden. Das hat aber Dabi sicher auch selber gesehen, weshalb ich das nicht notiert habe.

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@Mathecoach: Ich muss Gast hj2144 Recht geben:

"Wie bereits oben gesagt
Zeige ich über a < a_n < b_n < b dass das nächste Intervall im vorherigen enthalten ist."

So funktioniert das nicht.

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Warum geht das so nicht ?

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Betrachte mal die folgende Folge von Intervallen:
\(I_1:=[\frac 1 2, 2]\)
\(I_2:=[\frac 1 4, \frac 3 2]\)
\(I_n:=[1-\frac 1 n, 1+\frac 1 n]\) für \(n\geq 3\).

Alle Intervalle \(I_n\quad (n\in\mathbb N)\) sind enthalten in dem Intervall \([0,3]\). Nach deiner Argumentation soll man jetzt behaupten können, dass \((I_n)_{n\in\mathbb N}\) eine Intervallschachtelung ist, was aber nicht der Fall ist.

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Dann hast du meine textlichen Ausführung misverstanden

Wenn es ein Intervall [a, b] gibt dann ist das Intervall [an, bn] das nächste Intervall und damit vollständig in [a, b] enthalten.

[an, bn] ist das neue Intervall. Dort kann ich die Intervallgrenzen aber erneut durch a und b ersetzen.

ich zeige nur das ein [an, bn] in einem [a, b] enthalten ist.

Wie gesagt kann ich auch a und b durch an und bn ersetzen und an und bn durch an+1 und bn + 1. Das habe ich hier nicht gemacht um eigentlich verwirrungen zu vermeiden. Aber ich sehe schon es gibt mehr verwirrungen als wenn ich an und an+1 genommen hätte.

Mein a und b ist also nicht immer das Ausgangsintervall. Meine Definition

an = H(a, b) = 2·a·b/(a + b)
bn = A(a, b) = (a + b)/2

Bezieht sich ja auch immer nur auf ein Intervall [a, b]

Also ich schreibe dann lieber

an+1 = H(an, bn) = 2·an·bn/(an + bn)
bn+1 = A(an, bn) = (an + bn)/2

Zeige nun nicht das

a < an < bn < b

sondern dass

an < an+1 < bn+1 < bn

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Mein Beispiel war

a = a_0 = 5  ,   b = b_0 = 10

c_n  =  a_n + b_n     f.a.  n

a_n+1  =  0,125 (c_n)^2 - 4,5 c_n + 45,375

b_n+1  =  0,625 (c_n)^2 - 18,5 c_n + 143,875

was ebenfalls   a ≤ a_n < b_n ≤ b   f.a.  n  erfüllt, aber keine Intervallschachtelung ist.

Zusatz :  hat sich mit MCs Kommentar überschnitten, seine Erläuterungen bestätigen ja Nicks und meine Auffassung.

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Mir ist gerade noch Folgendes eingefallen :

c_0 = 0  ,   c_n+1  =  -1,5 (c_n)^2 + 2,5 c_n +1

a_3i     =  c_3i                  ,       b_3i    =  c_3i + 2^-3i 

a_3i+1  =  c_3i+1 - 2^-3i-2   ,     b_3i+1  =  c_3i+1 + 2^-3i-2 

a_3i+2  =  c_3i+2 - 2^-3i-2   ,     b_3i+2  =  c_3i+2