exp(A): Permanent falsches Ergebnis

Question

Wir hatten diese Aufgabe schon in einem Übungsblatt, aber habe bis heute etwas nicht verstanden:

\( A= \begin{pmatrix}  -1 & 4 & 2 \\ -1 & 2 & 1 \\ -1 & 3&2 \end{pmatrix} \)

Aufgabe: Berechne exp(A)

wir hatten in der Vorlesung folgende Formel: \( exp(A) = exp (g * J * {g}^{-1}) = g * exp (J)* {g}^{-1} \)

Habe g und \({g}^{-1}\) ausgerechnet, mit  \(g= \begin{pmatrix} 2&2&0 \\ 0&1&0 \\ 2&1&1 \end{pmatrix}\)  und \({g}^{-1} = \begin{pmatrix} 1/2 & -1 &0 \\ 0 &1&0 \\ -1&1&1 \end{pmatrix} \).

Und \( J = \begin{pmatrix} 1&1&0 \\ 0&1&1 \\ 0&0&1 \end{pmatrix} \)

Dann natürlich alles einfach in die oben genannte Formel eingesetzt, aber das richtige Ergebnis kriege ich einfach nicht raus. Habe es auch damals beim Übungsblatt nicht rausgekriegt. Habe meine Rechnung hingeschrieben mit dem Zwischenergebnissen, leider hat der Übungsleiter bei seiner Rechnung/Erklärung eine andere Variante benutzt, die ich zu kompliziert finde. Das einzige was bei meinem Endergebnis übereinstimmt ist die mittlere Zeile.

Kann mir da bitte jemand weiterhelfen ?

Comments

Ich muss jetzt leider weg und habe deine Frage nur überflogen, aber meiner Meinung nach muss dein J eine Diagonalmatrix sein, damit du die Exponentialfunktion darauf anwenden kannst.

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Und wie würde das dann aussehen bzw. wie sollte sich dann die Aufgabe lösen können ?

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Also ich würde das so machen, wie in "Gast ia2244"s Antwort geschrieben:

$$J = \begin{pmatrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = M+N$$

mit

$$N^2 =  \begin{pmatrix}0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \ , \quad N^3=N^4= \dots = 0 \ .$$

Damit folgt:

$$exp(A)=exp(g \cdot J \cdot g^{-1})=g  \cdot  exp(J) \cdot  g^{-1}$$

$$ = g  \cdot  exp(M+N) \cdot g^{-1}  = g \cdot exp(M) \cdot exp(N) \cdot g^{-1}$$

$$ = g \cdot eE_3 \cdot (E_3 + N + 1/2 \ N^2) \cdot g^{-1} \ ,$$

wobei E₃ die Einheitsmatrix 3x3 ist.

Answer 1

Das charakteristische Polynom von \(A\) lautet \(p_A(t)=(t-1)^3\).
Nach dem Satz von Cayley-Hamilton ist \((A-I)^3=0\). Es folgt$$\quad e^{A}=e^{A-I+I}=e^{A-I}\cdot e^{I}=\big(I+(A-I)+\tfrac12(A-I)^2\big)\cdot e^{I}$$$$=\tfrac e2(A^2+I).$$

Comments

Das ist genau das, was in der Übung gemacht wurde.

Ich wills ja mit der oben genannten Formel machen.

Answer 2

Schreibe \(J\) in der Form \(J=E+N\). Dann ist \(e^J=e^Ee^N=e\cdot e^N\). Fuer \(e^N\) nimmst Du die Reihe.