Lösungsmenge für einen Parameter in einem Gleichungssystem bestimmen

Question

SO ich stehe wieder einmal vollkommen auf der Leitung und hab einfach keinen Schimmer wie ich an folgende Aufgabe rangehen soll!

Angabe: Begründe für welche Werte des Parameters δ das Gleichungssystem 

x + δy = 1

(2 - δ)x +y = 1

in den Unbekannten x,y lösbar ist und bestimme ggf. die Lösungsmenge.

Mein Start: Ich habe mir gedacht ich muss mal so starten indem ich beide Gleichungen gleichsetze und sie so umforme, dass auf einer Seite 0 steht.

0 = x - δx - δy +y 

Macht das bis dahin Sinn? Bzw. wie muss ich weiter verfahren. Ich habe mir wirklich lange den Kopf zerbrochen aber ich weiß es einfach wirklich nicht.

Comments

Ich habe jetzt 

δ = (1-x)/y

δ = (2x-y)/x

Ist das meine Lösungsmenge?

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also nach x habe ich das ja schon umgeformt dann kommt ja x = (1/(a-1)) raus

Dann habe ich:

1. Fall: a ≤ 0 --> x < 0 (das sehe ich aus x = (1/(a-1)))

2. Fall: a > 1 --> x ≥ 1 (das sehe ich aus x = (1/(a-1)))

3. Fall: a = 1 dann ist x = 0 (das sehe ich aus x = (1/(a-1)))

x + ay =1 setze a = 1 dann x = 1-y

(2-a)x + y = 1 setze a =1 dann x = 1-y

Ist das in Ordnung?  Das heißt das Gleichungssystem ist nur mit den Parametern a≠1 lösbar da ich sonst wieder eine Gleichung mit unendlichen Lösungsvarianten erhalte?

Wie schreibt man dann die Lösung richtig auf, bzw. wie führt man dann die Lösungsmenge an?

Answer 1

Das macht keinen Sinn. Benutze Gleichsetzungs-, Additions- oder Gleichsetzungsverfahren. Aber richtig. Beim Gleichsetzungsverfahren wird nach einer Unbekannten aufgelöst und nicht nach einer Konstanten und nicht nach einem Parameter.

Ich würde das Additionsverfahren nehmen

x + a·y = 1

(2 - a)·x + y = 1

a*II - I

x·(- a^2 + 2·a - 1) = a - 1

- x·(a - 1)^2 = a - 1

Was passiert hier für a = 1 und was passiert für a <> 1. Das sind die Fälle die du unterscheiden musst.

Comments

Das bedeutet meine Lösung ist a = 1 weil nur bei a = 1 die Gleichung richtig ist. Ist a kleiner oder größer kann Sie nicht mehr stimmen da auf einer Seite mit x multipliziert wird. Ist das richtig?

Danke vielmals für deine Hilfe

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Nein. Das stimmt nicht. Für a = 1 gibt es nur unendlich viele Lösungen. Wie sieht das Gleichungssystem denn für a = 1 aus ?

Und löse 

- x·(a - 1)² = a - 1 

mal nach x auf, für den Fall das a <> 1 ist.

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Warum gibt es für a=1 unendlich viele Lösungen? 

Also ich habe auf x=(1-a)/(a-1)² umgeformt.

Daraus erkennt man: wenn a = 1 ist x = 0

bei a >1 ist x < 0

und bei a < 1 ist x > 0

Wie geht es jetzt weiter? Wie schaut dann meine Lösungsmenge aus? Danke für die Unterstützung 

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Warum gibt es für a=1 unendlich viele Lösungen? 

Warum hast du nicht das Gleichungssystem für den Fall mit a = 1 mal aufgeschrieben. Vielleicht wird es dir dann klar?

Also ich habe auf x=(1-a)/(a-1)² umgeformt.

Daraus erkennt man: wenn a = 1 ist x = 0. Du darfst hier für a gar nicht 1 einsetzen. Dann ist das nicht definiert. Man kann aber wenn a <> 1 ist hier kürzen

x = 1/(1 - a) für a <> 0

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OKay ich muss passen danke für deine Bemühungen aber da muss ich jetzt aussteigen. Ich glaub da sitzt mein Denkfehler schon irgendwie am Anfang der Aufgabe. Ich verstehe jetzt gar nix mehr.   :-S

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Setze einfach mal für a verschiedene Werte ein und löse dann das Gleichungssystem. Benutze auch den Sonderfall das a = 1 ist.

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meinst du, dass wenn a= 1 ist, die Lösung deshalb unendlich viele Lösungen hat  weil  0/0 = ∞ ergibt ? 

ja also immer wenn a>1 ist ist  x < 0

und immer wenn a< 1 ist ist x> 0 das kommt bei mir raus wenn ich einsetze! Stimmt das Jetzt? 

Und wie schaut dann die Lösungsmenge aus?

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Bitte gebt mir noch eine Antwort auf meine letzte Frage! 

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Warum weigerst du dich hartnäckig mal das zu tun, was man sagt?

Setze einfach mal für a verschiedene Werte ein und löse dann das Gleichungssystem. Benutze auch den Sonderfall das a = 1 ist.

x + a·y = 1 

(2 - a)·x + y = 1 

Setze hier mal für a = 1 ein und schau mal was passiert. Bzw. wie sich die Gleichungen vereinfachen.

Auch hatte ich dich gebeten zu versuchen die Gleichung

- x·(a - 1)² = a - 1 

mal nach x aufzulösen.

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Okay erstmals danke für deine Antwort und deine Geduld mir das beizubringen. Das ist MEGA-nett!

also nach x habe ich das ja schon umgeformt dann kommt ja x = (1/(a-1)) raus

Dann habe ich:

1. Fall: a ≤ 0 --> x < 0 (das sehe ich aus x = (1/(a-1)))

2. Fall: a > 1 --> x ≥ 1 (das sehe ich aus x = (1/(a-1)))

3. Fall: a = 1 dann ist x = 0 (das sehe ich aus x = (1/(a-1)))

x + ay =1 setze a = 1 dann x = 1-y

(2-a)x + y = 1 setze a =1 dann x = 1-y

Ist das in Ordnung?  Das heißt das Gleichungssystem ist nur mit den Parametern a≠1 lösbar da ich sonst wieder eine Gleichung mit unendlichen Lösungsvarianten erhalte?

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ist das (bitte) Richtig? ;S

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x + a·y = 1 

(2 - a)·x + y = 1 

Ersetze a mit 1

x + 1·y = 1 

(2 - 1)·x + y = 1 

Vereinfachen

x + y = 1 

x + y = 1 

Man erhält zwei identische Gleichungen und somit ein Freiheitsgrad. y kann z.B. frei gewählt werden und x = 1 - y.

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Für a <> 1 ist

x = 1/(1 - a)

Für diesen Fall ist auch noch y zu bestimmen. Hier macht man keine Fallunterscheidung mehr sondern lässt die Lösung mit x= und y= stehen.