allgemeine Lösung der Differentialgleichung mit dem Ansatz y(x)=e^{kx}

Question

Bestimmen Sie mit dem Ansatz    y(x)=e^{kx}   schrittweise von Hand die allgemeine Lösung der folgenden Differentialgleichung:

y`(x) - 2y(x) + y(x) = 0

Answer 1

y(x)=e^kx

y'= k *e^{kx}

y''=k^2 *e^{kx}

eingesetzt in die Aufgabe:

k^2 *e^{kx} -2 k *e^{kx} + e^{kx}=0

e^{kx}( k^2 -2k +1)=0 | : e^{kx} (weil verschieden 0)

k^2 -2k +1=0

k1,2=1

Lösung:

y= C1 *e^x +C2 *x *e^x