Handelt es sich um eine Äquivalenzrelation und wie sind die Äquivalenzklassen

Question

Auf der Menge Z der ganzen Zahlen ist definiert:

R={(x,y)∈Z×Z |x² + xy ist gerade}

Ich meine bewiesen zu haben, dass die Relation reflexiv, symmetrisch und transitiv ist. Folglich sollte es sich um eine Äquivalenzrelation handeln.

Als zweiter Punkt sollen die Äquivalenzklassen benannt werden und hier hakt es und je mehr ich lese, desto verwirrter werde ich...

Allgemein könnte ich (glaube ich zumindest) sagen, das die Äquivalenzklasse

A_x = { y ∈ R | x² + xy ist gerade } ist.

Die einzige konkrete Angabe, die mir sinnvoll erscheint ist:

A₁ = {1,2,4,6,8,10,...}, da ich für diese y Werte jeweils eine gerade Zahl erhalte. Aber ein System ist das noch nicht wirklich :(. Jeder Hinweis zur Selbsthilfe ist wirklich willkommen, da ich es ja lernen und nicht einfach übernehmen will.

Comments

Sicher, dass diese Relation symmetrisch ist?

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meine Überlegung dazu war:

(x,y)∈R

⇔x² + xy ist gerade
⇔x² + xy = 2k    ( da 2*k für alle k gerade ist)
⇔x(x + y) = 2k
⇔x + y = (2k) / x
⇔y(x + y) = (2k * y)  /  x = 2k * y / x  ⇒ 2* etwas ist gerade....

(y,x) ∈ R ⇔ yx + y² 

⇒ Symmetrie

Answer 1

x² + xy ist gerade

x( x+y) ist gerade

Wenn x gerade ist, kann y beliebig sein. D.h. z.B. (2,3) Element R.

Wenn y gerade ist, muss x gerade sein.  D.h. z.B.  (3,2) nichtElement R.

==> R ist nicht symmetrisch. 

Comments

Stimmt... irgendwie habe ich da den Wald vor lauter Bäumen nicht gesehen. Danke.

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Bitte. Schön, dass das nun klar ist. 

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Danke schön :)

Obwohl ich die korrekte Antwort nachvollziehen kann und sie nunmehr SEHR logisch ist, mache ich mir noch immer Gedanken darum.

Bei meinen ersten Gedankengängen habe ich mich total verrant mit

⇔x(x + y) = 2k
⇔x + y = (2k) / x
⇔y(x + y) = (2k * y)  /  x = 2k * y / x  ⇒ 2* etwas ist gerade....

Ich frage mich, nach dem korrekten Grund, warum die Operationen nicht möglich sind, denn offensichtlich sind sie es ja nicht. Warum kann ich z.B. nicht wie in Reihe zwei vorgehen? 

Vielleicht hilft es ja, künftig nicht diesen Denkfehler zu produzieren.

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Müsstest du nicht aus x(x+y) ungerade auch y(x+y)  ungerade herleiten können? 

und

gilt:

x(x + y) = 2k   denn für beliebige y?