Fläche zwischen Graph und einer Geraden berechnen - Schnittpunkt berechnung

Question

Die Funktion

f(x)=0,5x²*(x²-4)

hat an den Stellen -2 und 2 jeweils eine und an Stelle 0, eine dopellte Nullstelle.

Es soll die Fläche bestimmt werden die von Graph und Geraden y=-2 eingeschlossen wird.

Um die Integrationsgrenzen bestimmen zu können, muss ich ja die Funktion f(x)=-2 setzen. Zumindest wenn ich es richtig verstehe, damit ich die Flächen unterschiedlich behandeln kann.

Kann mir jemand zeigen wie ich die Werte für x finde, bei denen y=-2 ist?

Ich bekomme das nicht hin. Ist es überhaupt das richtige Vorgehen, bzw. Notwendig?

Beste Grüße

Answer 1

f(x)=0,5x²*(x²-4)

z = x^2
0.5 * z * ( z - 4 ) = -2
z^2 - 4 * z = - 4
z^2 - 4z + 4 = 0
( z - 2)^2 = 0
z - 2 = 0

x^2 - 2 = 0
x^2 = 2
x = ±√ 2

~plot~ 0.5 * x^2 * ( x^2 - 4 ) ~plot~

Die Funktion ist achsensymmetrisch zur y- Achse.
Du brauchst nur zwischen 0 und +√ 2  zu integrieren
und das Ergebnis dann mal 2 nehmen.

Comments

f(x)=0,5x²*(x²-4)

0.5 * ∫  x^4 - 4x^2 dx
0.5 * ( x^5 / 5 - 4 * x^3 / 3 )

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erstmal vielen dank für die schnelle Antwort. An Substitution habe ich gar nicht gedacht.

Also als ich die Funktion bei Wolfram geplottet habe, waren die Minima weit unter -2. Deswegen ging ich davon aus, das es vier Schnittstellen wären.

Wo liegt der Fehler?

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Warum ist denn die obere Integrationsgrenze √2 ?

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Also zunächst wird hier glaube ich kein Bezug auf die Gerade genommen.

Bei y=-2 Verläuft eine Gerade, die von ±√2 die Fläche einschließt. Diese Fläche ist diese "umgedrehte Parabel".

Da muss ich dann doch das Integral von -2 über die Grenzen, abzüglich dem Integral über die Grenzen von f(x). Richtig?

Zwei weitere Flächen würden sich ergeben, wenn die Gerade noch zwei weitere Punkte der Geraden

schneidet.

Grüße

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"Also als ich die Funktion bei Wolfram geplottet habe, waren die Minima weit unter -2. Deswegen ging ich davon aus, das es vier Schnittstellen wären."

f ' (x) hat die Nullstellen ±√2

Die Exrempunkte sind (±√2 | -2)
Irgendwie hast du beim Plotten etwas falsch gemacht.

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Du brauchst nur zwischen 0 und +√ 2  zu integrieren
und das Ergebnis dann mal 2 nehmen.

Hier habe ich etwas falsch gemacht.

Vom Rechteck = -2 * √2 ziehen die von mir angegebene
Fläche ab. Dann passt es.

Für Fortgeschrittene :
Du kannst auch die Funktion
f(x)=0,5x²*(x²-4) 
in Richtung y-Achse um 2 nach oben verschieben.
f(x)=0,5x²*(x²-4)  + 2

Und diese Funktion von 0 bis √2 integrieren und mal 2 nehmen.
Oder

Von - √2 bis √2 integrieren.

Answer 2

Du musst die Gleichung 

0,5x²*(x²-4) = -2 lösen  [x= ±✓2]

Wegen der Symmetrie kannst du dann A =  2 • | ∫₀^-2  (f(x)-(-2)) dx ausrechnen.

EDIT: Georgborn hat deine eigentliche Frage besser zu Ende gelesen :-)