Beweisen, dass die Fläche unter f(x) für alle Werte von t gleich gross ist

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion f(x) = \( \frac{2}{t^{2}} \)*x - \( \frac{1}{t^{3}} \)*\( x^{2} \), t ∈ R

Beweisen Sie, dass die Fläche, die der Graph von f(x) mit der x-Achse einschliesst, für alle Werte von t gleich gross ist.

Problem/Ansatz:

Es ist mir klar, dass ich f(x) integrieren muss für die Fläche. Aber es ist mir nicht klar, was für Grenzen und aus welchem Grund ich diese Grenzen im Integral einsetzen muss?

Vielen Dank im Voraus.

Comments

die Fläche von f(x) für alle Werte t...

Ich habe mir erlaubt, den Titel abzuändern. Eine Funktion hat keine Fläche.

Answer 1

Aloha :)$$f_t(x)=\frac{2}{t^2}\,x-\frac{1}{t^3}\,x^2=\frac{x}{t^2}\left(2-\frac xt\right)\quad;\quad t\ne0$$Die Funktion hat die beiden Nullstellen \(x_0=0\) und \(x_1=2t\).

Daher beträgt die Fläche, die der Graph von \(f_t(x)\) mit der \(x\)-Achse einschließt:$$F=\left|\int\limits_{x_0}^{x_1}f_t(x)\,dx\right|=\left|\int\limits_{0}^{2t}\left(\frac{2}{t^2}\,x-\frac{1}{t^3}\,x^2\right)dx\right|=\left|\left[\frac{x^2}{t^2}-\frac{x^3}{3t^3}\right]_{0}^{2t}\right|=\left|4-\frac83\right|=\frac43$$Offensichlicht ist \(F\) für alle \(t\ne0\) konstant.

Answer 2

Du integrierst in den Grenzen der Nullstellen

f(x) = 2/t^2·x - 1/t^3·x^2 = 0 --> x = 0 ∨ x = 2·t

A = ∫ (0 bis 2·t) (2/t^2·x - 1/t^3·x^2) dx = 4/3

Answer 3

Die Nullstellen von f(x) sind bei x = 0 und x = 2t.

Das Integral \( \int\limits_{0}^{2t} 2t^{-2} x - t^{-3} x^2 \, dx\) ist gleich 4/3 d.h. unabhängig von t.