Direkter Beweis von x ≠ y => ((x/y + y/x) > 2)

Question

Ich bitte um Hilfe wie man den direkten Beweis von folgendem Beispiel beginnt, bzw. wo muss man zu Beginn ansetzen um den richtig zu beweisen?

Angabe:

∀x∈(0,∞) ∀y∈(0,∞) : x≠y => ((x/y + y/x) > 2)

Answer 1

Addiere erst mal die beiden Brüche formal.

Dann kannst du mit dem Haptnenner multiplizieren und

2xy von rechts nach links nehmen.

Binomische Formel erkennen.

Zum Schluss die ganze Rechnung von hinten nach vorn hinschreiben.

Comments

Alternative (find ich persönlich schöner): $$\frac x y+\frac y x=\frac{x^2+y^2}{xy}=\frac{(x-y)^2+2xy}{xy}=\frac{(x-y)^2}{xy}+2>2$$