Wie beweise ich diese Umformung? ∑ (i-1) ⇔ ∑ (i) - n

Question

Hallo Community könnt ihr mir kurz weiterhelfen. :)

Bin beim herumprobieren auf diese Umformung gestoßen:

n ∈ ℕ

n             n
∑ (i-1) ⇔ ∑ (i) - n
i=1         i=1

Beweis:
n = 1 -> (1) - 1 = 0 ⇔ 1 - (1) = 0
n = 2-> 0 + [(2) - 1] = 1 ⇔ 1 + 2 - (2) = 1
n = 3 -> 0 +1 + [(3) - 1] = 3 ⇔ 1 + 2 + 3 - (3) = 3

...

Das Einsetzen von niedrigen Zahlen zeigt, das sie gültig sein könnte und sie würde mir bei meiner Mathe_HÜ weiterhelfen. Doch wie beweise ich das sie für alle natürlichen Zahlen gilt? Hat diese Umformung auch einen eigenen Namen oder wird sie nur von einen anderen mathematischen Gesetz hergeleitet? Oder ist sie auch nur falsch, wenn ja warum?

Also Danke mal im voraus :D

Comments

Nur so als Anmerkung: Zwischen die Summen gehört ein Gleichheitszeichen und kein Äquivalenzpfeil.

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Eigentlich wollte ich beide Antworten als Beste kennzeichnen aber anscheinend kann das nur bei einer machen. :|

Answer 1

Falls der Beweis "elementar" - also nur mit der Definition von ∑ - geführt werden soll:

Behauptung:

n               n 
∑ (i-1) ⇔ ∑ (i) - n

i=1                i=1 

Es gilt:

n              n-1 
∑ (i-1)  =  ∑ (i) 
i=1            i=0 

   n-1

= ∑ (i)    da der Summand für i=1 Null ist

   i=1

      n              
 =  ∑ (i)  -  n    da der Summand für i=n  den Wert n hat und wieder subtrahiert wird
      i=1            

 

Comments

Danke dir :D

Kann sicher nicht schaden, wenn ich zwei Wege kenne das Beispiel zu beweisen. Besonders weil wir das allgemeine Kommutativgesetz noch gar nicht gemacht haben. ;)

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Das allgemeine Kommutativgesetz besagt nicht mehr, als dass beim Aufsummieren von n Zahlen immer dasselbe rauskommt, egal in welcher Reihenfolge man summiert. Das wird Dir ja wohl bekannt sein.

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Ja aber man kann sagen das die Summe aller "1" gleich n ist also: { ∑(1)= (1)*n } = { ∑(1) = n }

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Wenn es n Einsen sind, dann ist ihre Summe garantiert n. Du musst halt noch Summationsgrezen dranschreiben.

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etwa so:

n
∑ (1) = n
i=1

oder was meinst du mit Summationsgrenzen?

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Ja, genau so. Hast Du etwa Zweifel am hingeschriebenen?

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nein
War mir nur nicht ganz sicher was du mit Summationsgrenzen meintest. Außerdem konnte ich meine Rechnung jetzt lösen.
Danke für deine Hilfe ;)

Answer 2

Verwende das allgemeine Kommutativgesetz: $$\sum (i-1)=\sum i -\sum 1$$