Wie löst man dieses Beispiel: 2! * 4! * … * (2n)! > [(n + 1)!]^2

Question

Hallo Community,

Ich versuche schon Zeit mindesten einer Stunde dieses Beispiel zu lösen, doch habe es bisher nicht geschafft. Ich glaub man löst das Beispiel mit Induktion.

Die Angabe lautet:

Für welche n ∈ ℕ₊ gilt:

2! * 4! + … + (2n)! > [(n + 1)!]^2 ?

Beweisen Sie Ihre Antwort. Hinweis: n! = 1 * 2 … n, n ∈ ℕ

Also wie beweist man das Beispiel am besten?

Vielen Dank einmal im Vorhinein :)

Comments

" 2! * 4! + … + (2n)! > [(n + 1)!]² "

Ich nehme an, du meinst 

2! + 4! + … + (2n)! > [(n + 1)!]²  ?

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Ja einen kleine Fehler hab ich gestern gemacht. Meine Angabe lautet eigentlich:

2! * 4! * … * (2n)! > [(n + 1)!]ⁿ

War wohl etwas zu spät als ich die Frage gestellt habe :| Aber trotzdem danke für deine Aufmerksamkeit ;)

Answer 1

Zunächst möchte ich eine Ungleichung herleiten, welche für den eigentlichen Induktionsbeweis benötigt wird.

Es sei:

$$ i>0 $$

Daraus folgt:

$$ n+2+i>n+2 \quad \quad ;\quad \quad n>1 $$

$$ \prod _{ i=1 }^{ n }{ \left( n+2+i \right)  } >\prod _{ i=1 }^{ n }{ \left( n+2 \right)  } ={ \left( n+2 \right)  }^{ n } \quad \quad \quad |\cdot \left( n+2 \right) ! $$

$$ \left( n+2 \right) !\cdot \prod _{ i=1 }^{ n }{ \left( n+2+i \right)  } >\left( n+2 \right) !\cdot { \left( n+2 \right)  }^{ n } $$

Die linke Seite der Ungleichung soll noch etwas umgeformt werden. Es gilt:

$$ \quad \quad \quad \prod _{ i=1 }^{ n }{ \left( n+2+i \right)  } =\prod _{ i=n+3 }^{ 2n+2 }{ i } $$

$$ \quad \quad \quad \left( n+2 \right) !=\prod _{ i=1 }^{ n+2 }{ i } $$

Daraus folgt für das Produkt:

$$ \quad \quad \quad \left( n+2 \right) !\cdot \prod _{ i=1 }^{ n }{ \left( n+2+i \right)  } =\left( \prod _{ i=1 }^{ n+2 }{ i }  \right) \cdot \left( \prod _{ i=n+3 }^{ 2n+2 }{ i }  \right) $$

$$ \quad \quad \quad \left( n+2 \right) !\cdot \prod _{ i=1 }^{ n }{ \left( n+2+i \right)  } = \prod _{ i=1 }^{ 2n+2 }{ i } =\left( 2n+2 \right) ! $$

Ersetzt man nun die linke Seite der obigen Ungleichung, erhält man folgende Hilfsungleichung:

$$ \left( 2n+2 \right) ! > \left( n+2 \right) !\cdot { \left( n+2 \right)  }^{ n } $$

Nun zum Induktionsbeweis für die Ungleichung:

$$ \prod _{ i=1 }^{ n }{ \left[ \left( 2i \right) ! \right]  } >{ \left[ \left( n+1 \right) ! \right]  }^{ n }\quad \quad ;\quad \quad n>1 $$

Induktionsanfang:

$$ n=2\quad \Rightarrow \quad 2!\cdot 4!>{ \left[ \left( 2+1 \right) ! \right]  }^{ 2 }\quad \Rightarrow \quad 48>36 $$

Induktionsschritt unter der Induktionsvoraussetzung:

$$ \prod _{ i=1 }^{ n }{ \left[ \left( 2i \right) ! \right]  } >{ \left[ \left( n+1 \right) ! \right]  }^{ n }\quad \quad |\cdot \left( 2n+2 \right) ! $$

$$ \left( 2n+2 \right) !\cdot \prod _{ i=1 }^{ n }{ \left[ \left( 2i \right) ! \right]  } =\prod _{ i=1 }^{ n+1 }{ \left[ \left( 2i \right) ! \right]  } >\left( 2n+2 \right) !\cdot { \left[ \left( n+1 \right) ! \right]  }^{ n } $$

Daraus folgt mit der oben hergeleiteten Hilfsungleichung:

$$ \prod _{ i=1 }^{ n+1 }{ \left[ \left( 2i \right) ! \right]  } >\left( 2n+2 \right) !\cdot { \left[ \left( n+1 \right) ! \right]  }^{ n }>\left( n+2 \right) !\cdot { \left( n+2 \right)  }^{ n }\cdot { \left[ \left( n+1 \right) ! \right]  }^{ n } $$

Für die rechte Seite der Ungleichung gilt:

$$ \quad \quad \quad \left( n+2 \right) !\cdot { \left( n+2 \right)  }^{ n }\cdot { \left[ \left( n+1 \right) ! \right]  }^{ n }=\left( n+2 \right) !\cdot { \left[ \left( n+2 \right) \cdot \left( n+1 \right) ! \right]  }^{ n } $$

$$ \quad \quad \quad \left( n+2 \right) !\cdot { \left( n+2 \right)  }^{ n }\cdot { \left[ \left( n+1 \right) ! \right]  }^{ n }=\left( n+2 \right) !\cdot { \left[ \left( n+2 \right) ! \right]  }^{ n } $$

$$ \quad \quad \quad \left( n+2 \right) !\cdot { \left( n+2 \right)  }^{ n }\cdot { \left[ \left( n+1 \right) ! \right]  }^{ n }={ \left[ \left( n+2 \right) ! \right]  }^{ n+1 } $$

Ersetzt man die rechte Seite der Ungleichung entsprechend, ergibt sich abschießend:

$$ \prod _{ i=1 }^{ n+1 }{ \left[ \left( 2i \right) ! \right]  } >{ \left[ \left( n+2 \right) ! \right]  }^{ n+1 } $$

Damit ist der auch der Induktionsschritt gezeigt und obige Ungleichung bewiesen.

Comments

Ich habe bewusst alle Schritte sehr ausführlich geschrieben. Bei entsprechendem Verständnis ist auch eine kürzere und somit kompaktere Darstellung möglich.

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Ich sehe gerade, dass du meine sogenannte "Hilfsungleichung" bereits schon in einem anderen Thread ergründet hast. Demnach warst du also schon sehr dicht an einer Lösung. Für den Induktionsbeweis benötigt man dann nur noch folgenden Zusammenhang:

$$ \left( n+2 \right) !\cdot { \left( n+2 \right)  }^{ n }\cdot { \left[ \left( n+1 \right) ! \right]  }^{ n }={ \left[ \left( n+2 \right) ! \right]  }^{ n+1 } $$

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Vielen Dank für deine Hilfe :)

Answer 2

$$ 2! + 4! + … + (2n)! \gt (n + 1)!^2   $$
$$ 2!  > (2!)^2   $$
$$ 2  > 4   $$
naja ...
$$ 2! + 4! \gt (2 + 1)!^2   $$
$$ 2 + 24 ! \gt 9   $$
wird immer schwerer glaubich ...

Comments

Danke für deine Antwort:

Als ich meine Frage gestellt habe ist mir ein kleiner Tippfehler unterlaufen: meine Angabe war eigentlich:

2! * 4! … (2n)! > [(n + 1)!]ⁿ

Ich glaub das hat für einiges an Verwirrung gesorgt. :|

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... und möchtest Du noch eine Antwort zur richtigen Frage ?

$$ 2! \cdot 4! \cdot 6!  \quad \cdot \quad \cdots  \quad\cdot \quad (2n)! \quad \gt \quad \left((n + 1)! \right)^n $$

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Ja bitte, hab das Beispiel immer noch nicht lösen können. :)

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@ TZ:

Statt der letzten Ungleichung deiner Antwort müsste  2+24 > 36  stehen.

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@Wolfgang

stimmt, aber ändert nix dran, dass es so nicht geht und überhaupt die falsche Aufgabenstellung ist.

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$$ 2! \cdot 4! \cdot 6!  \quad \cdot \quad \cdots  \quad\cdot \quad (2n)! \quad \gt \quad \left((n + 1)! \right)^n $$
Probiern wir mal n=1:
$$ 2!  \quad \gt \quad \left((1 + 1)! \right)^n $$
$$ 2!  \quad \gt \quad (2! )^1 $$
zumindest mal gleich ... jetzt mit n=2
$$ 2!   \cdot 4! \quad \gt \quad \left((2 + 1)! \right)^2 $$
$$ 2   \cdot 24 \quad \gt \quad \left(6 \right)^2 $$
$$ 48 \quad \gt \quad 36 $$
passt ja - vielleicht gehts so weiter ? n=3
$$ 2! \cdot 4! \cdot 6!   \quad \gt \quad \left((3 + 1)! \right)^3 $$
$$ 2 \cdot 24 \cdot 720   \quad \gt \quad \left(24 \right)^3 $$
$$ 34560   \quad \gt \quad 13824 $$
das macht doch Mut, einen Induktionsbeweis anzufangen, oder?

(vielleicht steckt aber noch mehr dahinter ?)
 

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Ich halte die Aufgabe, sollte sie an Schüler gerichtet sein, für etwas schwierig. Deshalb bin ich bereit, sie dir vorzurechnen. Ich weiß allerdings nicht, ob ich es heute Abend noch schaffe.

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@ Thomas

Mir war schon klar das man das Beispiel mit Induktion lösen kann. Ich war mir nur nicht sicher wie man das mit Ungleichungen macht, also welche Umformungen man machen darf und welche nicht. Aber dennoch,

Danke für deine Hilfe. ;)