senkrechte/waagerechte asymptote

Question

Wenn Ich eine Funktion f habe die eine senkrechte und eine waagerechte asymptote haben kann Ich dann auch schon was charakteristisches über die Ableitung sagen ?

Comments

Ist das eine allgemeinphilosophische Frage, oder denkst Du an eine bestimmte Klasse von Funktionen? Hilfreich waere auch zu wissen, was Dich ueberhaupt an den Ableitungen dann interessiert.

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Zum Beispiel hab Ich in einem Schaubild drei Funktionen gegeben: Die stammfunktion, die Funktion Und ihre Ableitung. Wenn Ich jetzt zuordnen soll was welche Funktion ist, dann wäre gut zu wissen ob die abgeleitete Funktionen auch an dieser Stelle Eine senkrechte asymptote hat Oder dass sie zum Beispiel gar Keine hat Oder so

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Z.B. hat \(f(x)=1/\sqrt{|x|}\) eine senkrechte Asymptote and der Stelle \(x=0\), die Stammfunktion \(F(x)=2\sqrt{|x|}\mathop{\mathrm{sgn}}x\) aber nicht.

Auf der anderen Seite hat \(g(x)=1/x^2\) eine senkrechte Asymptote an der Stelle \(x=0\), die Stammfunktion \(G(x)=-1/x\) aber auch.

Noe, Ableitungen und Asymptoten haben nicht recht was miteinander zu tun.

Ableitungen haben eher was mit Steigung, Extremstellen und Wendepunkten zu tun.

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Okay super Vielen dank für die Erklärung! :)

Answer 1

Eine senkrechte Asymptote hat an einer bestimmten Steile x₀ die Steigung ±∞

->  lim (x->x₀⁺) f ' (x) = ∞ oder  lim (x->x₀^-) f ' (x) = ∞ oder   lim (x->x₀⁺) f ' (x) = - ∞ oder  lim (x->x₀^-) f ' (x) = -∞

Es können auch zwei dieser Möglichkeiten gleichzeitig zutreffen.

Waagrechte Asymptote:

lim (x->∞) f ' (x) = 0   oder lim (x-> -∞) f ' (x) = 0   oder beides

Comments

Laut Frage soll ja f die Asymptoten haben. Deine Aussagen ueber f' sind dann als Schlussfolgerungen daraus zu verstehen?

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Auch dir vielen dank für die tolle erklärung! :)

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ja, mit f strebt in diesen Fällen auch die Tangentensteigung - also f ' -  gegen ±∞ bzw. 0

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Das ist natuerlich alles falsch. Ich hab doch nicht zum Spass gefragt.

Ein Gegenbsp.: $$f(x)=\frac{2+\sin x^2}{x}$$ Die x-Achse ist waagrechte Asymptote von f für \(x\to\infty\). Aber \(\lim_{x\to\infty}f'(x)\) existiert gar nicht, ist also insbesondere \(\ne0\). Usw.

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Entschuldige bitte, dass ich die EXISTENZ der Grenzwerte der  Ableitung, mit der du ja einen Zusammenhang hergestellt haben wolltest, nicht vorausgesetzt habe.

Dein "alles falsch" ändert nichts daran, dass solche Zusammenhänge bestehen!

Wenn du alles weißt, warum fragst du dann "zum Spaß"?

Und noch etwas zur Logik: Etwas, das nicht existiert, kann auch nicht ≠ 0 sein.

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Grenzwert gleich Null  ==>  Grenzwert existiert.

   <====>

Grenzwert existiert nicht  ==>  Grenzwert nicht gleich Null


Interessanter finde ich aber:

Auf welchen Sachverhalt beziehen sich denn jetzt Deine Aussagen? Was kann man ueber f' sagen, wenn f eine Asymptote hat? (Das war jedenfalls die Frage gewesen.)