Bogenlänge eines Graphen

Question

Die Länge des Graphen der Funktion in den Grenzen 1 und e ist zu berechnen.

f(x) = 1/4 * (x² - 2* ln x)

Bei der Substitution dann bei der Rechnung, komme ich auf keinen "angenehmen" x = ... Term, den ich dann weiter verwenden kann.

LG und

Answer 1

f(x) = 1/4·(x^2 - 2·LN(x))

f'(x) = x/2 - 1/(2·x)

(f'(x))^2 = x^2/4 + 1/(4·x^2) - 1/2

1 + (f'(x))^2 = x^2/4 + 1/(4·x^2) + 1/2

√(1 + (f'(x))^2) = ✓(x^2/4 + 1/(4·x^2) + 1/2) = (x^2 + 1)/(2·x) = x/2 + 1/(2·x)

L(x) = LN(x)/2 + x^2/4

L(e) - L(1) = (LN(e)/2 + e^2/4) - (LN(1)/2 + 1^2/4) = e^2/4 + 1/4 = 2.097