Transitivität soll bewiesen werden.

Question

Sei \( R \) eine Relation in \(X\). Dann gilt:

\(R\) ist eine transitive Relation \( \Rightarrow  (\forall Y \subseteq X) (R \upharpoonright Y\)  ist eine transitive Relation \()\).

Ich soll die obere Aufgabe beweisen. Meiner Meinung nach ist aber diese Aussage falsch, denn ich kann mir vorstellen, dass z.B. \( (x,y),(y,z) \in Y \) und \( (x,z) \not \in Y \).

Habe ich Recht?

Answer 1

Vor: Für alle a,b,c ∈ X gilt: [ (a|b) ∈ R ∧ (a|c) ∈ R ]  -> (a|c) ∈ R

Y ⊆ X

Beh: Für alle a,b,c ∈ Y gilt: [ (a|b) ∈ R|Y ∧ (a|c) ∈ R|Y  ]  -> (a|c) ∈ R|Y

Für welche a,b,c  aus der Teilmenge soll denn die Behauptung falsch sein,

wenn sie für alle a,b,c aus der Obermenge gilt?

Comments

Deine Voraussetzung ist falsch.

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Für diejenigen wo \( (x,y), (y,z) \in Y \) und \( (x,z) \not \in Y \).

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Ich hatte Y, X als Grundmengen verstanden, also R ⊂ X x X  bzw. YxY

Sollte  R ⊂ X gemeint sein, was ich immer noch nicht glaube, ziehe ich meine Argumentation zurück.

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Es ist \( R \subseteq X^2 \) gemeint und ich meinte natürlich \( Y^2 \).

Trotzdem verstehe ich deinen Gedankengang nicht, denn

1. Deine Definition der Transitivität ist falsch.

2.  Ich habe doch geschrieben, dass \( (x,y),(y,z) \in Y^2 \) und \( (x,y) \not \in Y^2 \) und das wäre doch ein Gegenbeispiel.

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* (x,z) ∉ YxY.

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YxY = {(a,b)| a∈Y und b∈Y}

wie sollen dann (x,y) und (y,z) ∈ YxY sein und  (x,z) nicht?

Und wieso ist meine "Definition der Transivität falsch" ?

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Die Def. der Transivität ist (a,b) in R und (b,c) in R dann ist auch (a,c) in R.Ich vermute mal das (a,c) bei Wolfgang ist ein Tippfehler.

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so ist es, kann es leide nicht mehr korrigieren :-)

Wenn man mit Kopieren und Einfügen arbeitet, wiederholt er sich auch noch :-)

Danke für den Hinweis.

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Wenn Du mir die genauen Stellen verrätst, kann ich das für Dich verbessern, wenn gewünscht.

Ansonsten solltest Du bald selbst in der Lage sein, auch ältere Beiträge zu verbessern, denke ich ;).

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Nachträglich verbessern hat den Nachteil, dass dann kein Mensch mehr die Kommentare versteht.

Es hätte natürlich für eventuelle "spätere "Leser" (also für die Nachwelt :-)) den Vorteil, dass sie keinen Unsinn lesen müssen.

Noch besser wäre es natürlich, zumindest Flüchtigkeitsfehler zu vermeiden. Denkfehler werden wohl unvermeidlich immer mal wieder vorkommen.

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@-Wolfgang- Du bist nun Moderator, damit kannst du deine Beiträge jederzeit bearbeiten. Glückwunsch, Kai