Ungleichungen beweisen (Mengen, Teilmengen, Koerper)

Question

Koennte mir jemand bei der Aufabe helfe bzw. einen Ansatz zeigen?

Gruss!

Answer 1

a)

Nein, denn:

Sei b ∈ ℝ⁺

Y := [ 0 ; b ] ,  X := ] b ; ∞ [

Jede reelle Zahl z mit  b < z  liegt in X und der Mittelwert (b+z) / 2  von b und z  liegt auch in X

Es gilt   b < (b+z) / 2  <  z

b)

Es gilt für alle x,y ∈ ℝ:

1/2 • (x - y)² ≥ 0

-> 1/2 • (x² - 2xy + y²) ≥ 0

-> 1/2 • x² + 1/2 • y² - xy ≥ 0

-> 1/2 • x² + 1/2 • y² ≥ xy

also:

1/2 • a² + 1/2 • b²  ≥  ab

1/2 • a² + 1/2 • c²  ≥  ac

1/2 • b² + 1/2 • c²  ≥  bc

Addition der letzten drei Ungleichungen ergibt:

a² + b² + c²  ≥  ab + ac + bc  für alle a,b,c ∈ ℝ