Vorschlag eines Ansatzes ohne Gewähr was dessen Vollständigkeit betrifft:
$$\lim_{n \to \infty} \frac{n^n}{n} $$
$$a_n \lt a _{n+1}$$
$$\frac{n^n}{n!}\lt \frac{(n+1)^{(n+1)}}{(n+1)!}$$
$$\frac{n^n}{n!}\lt \frac{(n+1)\cdot (n+1)^{(n)}}{n! \cdot (n+1)}$$(n+1) kürzen
$$\frac{n^n}{n!}\lt \frac{ (n+1)^{(n)}}{n! }$$bei gleichen Nennern nur die Zähler betrachten:
$$n^n\lt (n+1)^{(n)}$$bei gleichen positiven Exponenten > 1 nur die Basen vergleichen
$$n\lt n+1$$
Eine Reihe mit der rekursiven Vorschrift $$a_{n+1} = a_n +1$$ bzw. $$a_n =n$$ sollte als bewiesen betrachtet sein, gegen Unendlich zu laufen. Mit einer Potenz >>1 sollte das noch wesentlich schneller gehen.
