Vollständige Induktion p^n>n

Question

Es sei p∈ℕ p≥ 2 . Zeigen sie , dass für alle n∈ℕ  gilt : p^n>n

Comments

Ich bräuchte hilfe beim Induktionsschrit , IA hab ich schon ;)

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pⁿ⁺¹ = pⁿ·p > n·p = n + n·(p - 1) ≥ n + 1.

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wurde schon gelöst, nicht gesehen

Answer 1

Es sei p∈ℕ p≥ 2 . Zeigen sie , dass für alle n∈ℕ  gilt : pⁿ>n [A(n)]

Basis (n=1):  p¹ > 1 wahr

Induktionsschluss A(n) -> A(n+1):

Vor.: pⁿ>n  für ein festes n   [#]

zu zeigen: pⁿ⁺¹ > n+1

Es gilt

pⁿ⁺¹ = p • pⁿ 

 >   p • n      nach [#]

≥ 2 • n    nach Voraussetzung für p

≥   n+1

Comments

Vielen dank für die schnelle Antwort ;)

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Köntest du den Schritt hier mit Worten erkären ich tu mir scher es zu verstehen ;)

Es gilt

pⁿ⁺¹ = p • pⁿ 

 >   p • n      nach [#]

≥ 2 • n    nach Voraussetzung für p

≥   n+1