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Hey, ich muss folgende Aufgabe mittels vollständiger Induktion lösen

Aufgabe:

Sei q ∈ \(\mathbb{N} \), q ≠ 1. Für alle n ∈ \(\mathbb{N}_0 \) ist

\(\frac{q^{n+1}-1}{q-1} \in \mathbb{N} \)


Problem/Ansatz:

Ich bin mir allerdings nicht sicher, wie ich dies lösen soll, da ich ja nur eine Seite der Induktion in der Angabe stehen habe.

Würde mich über Antworten freuen :)

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2 Antworten

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Beste Antwort

Induktonsanfang: für \(n=0\) gilt doch \(\frac{q^1-1}{q-1}=1\in N\)

zu zeigen Induktonsschluss: :\(\frac{q^{n+1}-1}{q-1}\in N \Rightarrow \frac{q^{n+2}-1}{q-1}\in N\)

Hinweis: Es gilt doch \(\sum_{k=0}^nq^k=\frac{q^{n+1}-1}{q-1} \in N\)

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Dankeschön :)
Aber woher weißt du, dass auf der linken Seite diese Summeformel gilt?

Kannst du mittels v.I. oder Polynomdivision nachweisen!

Wenn man die Summenformel benutzen darf, dann ist doch die Aussage trivial und ein Induktionsbeweis Quatsch.

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Als kleine Anregung. Als Beweis kannst du es auch von unten nach oben schreiben.

(q^(n + 1) - 1) / (q - 1) ∈ N

(q * q^n - 1) / (q - 1) ∈ N

(q * q^n - (q - 1) - 1) / (q - 1) ∈ N

(q * q^n - q) / (q - 1) ∈ N

(q * (q^n - 1)) / (q - 1) ∈ N

q * (q^n - 1) / (q - 1) ∈ N

Avatar von 487 k 🚀

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