Vollständige Induktion von (q^(n+1)-1)/(q-1) Element aus natürlichen Zahlen

Question

Hey, ich muss folgende Aufgabe mittels vollständiger Induktion lösen

Aufgabe:

Sei q ∈ \(\mathbb{N} \), q ≠ 1. Für alle n ∈ \(\mathbb{N}_0 \) ist

\(\frac{q^{n+1}-1}{q-1} \in \mathbb{N} \)

Problem/Ansatz:

Ich bin mir allerdings nicht sicher, wie ich dies lösen soll, da ich ja nur eine Seite der Induktion in der Angabe stehen habe.

Würde mich über Antworten freuen :)

Answer 1

Induktonsanfang: für \(n=0\) gilt doch \(\frac{q^1-1}{q-1}=1\in N\)

zu zeigen Induktonsschluss: :\(\frac{q^{n+1}-1}{q-1}\in N \Rightarrow \frac{q^{n+2}-1}{q-1}\in N\)

Hinweis: Es gilt doch \(\sum_{k=0}^nq^k=\frac{q^{n+1}-1}{q-1} \in N\)

Comments

Dankeschön :)
Aber woher weißt du, dass auf der linken Seite diese Summeformel gilt?

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Kannst du mittels v.I. oder Polynomdivision nachweisen!

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Wenn man die Summenformel benutzen darf, dann ist doch die Aussage trivial und ein Induktionsbeweis Quatsch.

Answer 2

Als kleine Anregung. Als Beweis kannst du es auch von unten nach oben schreiben.

(q^(n + 1) - 1) / (q - 1) ∈ N

(q * q^n - 1) / (q - 1) ∈ N

(q * q^n - (q - 1) - 1) / (q - 1) ∈ N

(q * q^n - q) / (q - 1) ∈ N

(q * (q^n - 1)) / (q - 1) ∈ N

q * (q^n - 1) / (q - 1) ∈ N