Berechnung der Nullstellen einer gebrochenrationalen Funktion

Question

ich möchte gern von Folgender Funktion die 0 Stellen berechnen.

$$f ( x ) = \frac { 4 - x ^ { 2 } } { 2 + x ^ { 2 } }$$

hier zu habe ich mittels Quotientenregel die erste Ableitung gebildet.

$$f ^ { \prime } ( x ) = \frac { - 2 x * \left( 2 + x ^ { 2 } \right) - \left( 4 - x ^ { 2 } \right) * 2 x } { \left( 2 + x ^ { 2 } \right) ^ { 2 } }$$

Jetzt möchte ich das ganze nach Möglichkeit so umformen das ich am ende die PQ Formel anwenden kann.

Da ich im umformen von Termen noch nicht so fit bin würde ich mich über einen Ansatz freuen.

Meine erste Überlegung war Klammern aus multiplizieren und zusammenfassen.

$$f ^ { \prime } ( x ) = \frac { - 12 x } { 4 + 4 x ^ { 2 } + x ^ { 4 } }$$

Bin ich auf dem richtigen Weg und wenn wie würde ich weiter machen?

Gibt es irgendwelche grundlegenden Ansätze die man sich merken kann?

Comments

Ok die 0 Stellen konnte ich mit eurer Hilfe bereits lösen.

Jetzt sollen jedoch die Wendepunkte bestimmt werden gibt es hier gar eine ähnlich einfache Lösung?

Ansonsten müsste ich doch die 2. Ableitung der Funktion 0 Setzen.

Dazu ist zusagen das eine Skizze vorliegt und man glaube ich ablesen kann das die Wendepunkte bei x=-1 und x=1 liegen

Jedoch steht in der Aufgabenstellung: "Berechnen Sie die Wendepunkte! Auf den Nachweis wird verzichtet."

Meine Überlegung: Ich könnte die 1. Ableitung bilden und die Funktion bei x=1 und x=-1 auf einen Vorzeichenwechsel hin überprüfen.

Meint ihr dies würde ausreichen für "Berechnen Sie die Wendepunkte!"?

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Mit der ersten Ableitung hat der Wendepunkt nicht viel zu tun.

 

Normal gilt f''(x)=0 und f'''(x)≠0 zu bestimmen. Die Aufgabenstellung besagt allerdings, dass ein Nachweis nicht erforderlich ist. Die Untersuchung von f''(x)=0 ist also vollkommen ausreichend.

Alternativ zu f'''(x)≠0, könntest Du auch eine VZW-Untersuchung der zweiten Ableitung machen, aber auch das ist nicht verlangt.

 

Verlangt hingegen ist noch zusätzlich der y-Wert. Vergiss diesen nicht ;).

Answer 1

Hi,

ich glaube Du verwechselst hier etwas. Du möchtest die Nullstellen haben, also f(x)=0 bestimmen.

 

Dafür reicht es aus den Zähler zu betrachten: 4-x^2=0 -> x_1,2=±2

 

Die Nullstellen liegen also bei N₁(-2|0) und N₂(2|0).
Einzige sollte man noch die Nennernullstellen untersuchen. Ist die Zählernullstelle auch eine Nennernullstelle, so ist keine Nullstelle zu finden, sondern eine Definitionslücke ;).

 

 

Grüße

Comments

Danke für den Hinweis!

Diese Vorgehensweise hab ich total vergessen.

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Solange sie nun wieder präsent ist ;).

 

Gerne