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folgende Frage:

1) Es seien A und B zwei nicht leere Mengen. Gegeben seien Abbildungen: f: A → B, g: B → A
zwischen ihnen, deren Kompositum g ° f die identische Abbildung auf A ist, das heißt g f = idA.
Zeigen Sie: Die Abbildung ist injektiv, und die Abbildung g ist surjektiv.

Wie die injektivität / surjektivität definiert ist, habe ich verstanden. Jedoch weis nicht nicht,
wie ich dies nun zeigen kann.


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2 Antworten

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Beste Antwort

Kann man natürlich auch noch etwas ausführen.

Etwa so:  f injektiv wird ja gezeigt durch: Sind x,y aus A mit f(x)=f(y), dann x=y.

Das würde hier so gehen:

Seien  x,y aus A mit f(x)=f(y)

        dann  g( f(x)) =g(f(y)) da g eine Abbildung ist.

         also  (g°f)(x)=(g°f)(y)

            dann  x=y   da   g°f = idA .  q.e.d.

 

Avatar von 289 k 🚀
+1 Daumen

Wäre die Abbbildung f  nicht injektiv, wäre g(f(x))  nicht eindeutig definiert.

Wäre g nicht surjektv, gäbe es einen Wert x in A, für den g(f(x)) ≠ x gilt. gof könnte also nicht die identische Abbildung sein.

Avatar von 86 k 🚀

Und das reicht wirklich schon um es zu zeigen? Kommt mir so wenig vor Punkte :-)

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