"Bei einem Wettbewerb mit 5 Spielern spielt jeder Spieler gegen jeden anderen genau ein mal. Der Gewinner erhält 3 Punkte, der Verlierer 0 Punkte und bei einem Unentschiedenbekommt jeder Spieler einen Punkt. Nachdem jeder genau einmal [gegen jeden anderen] gespielt hat, haben alle fünf Spieler gleich viele Punkte. Wie viele Unentschieden kannes gegeben haben? Gib alle Möglichkeiten an."
(1) Den [markierten] Zusatz habe ich eingefügt, da sonst die Aufgabe bei wörtlicher Interpretation uninteressant ist.
(2) Der Wettbewerb besteht aus insgesamt 4+3+2+1 = 10 Spielen.
(3) Da pro Spiel mindestens 2 und höchstens 3 Punkte zu vergeben sind, werden im gesamten Wettbewerb mindestens 2*10 = 20 und höchstens 3*10 = 30 Punkte vergeben.
(4) Haben alle fünf Spieler am Ende des Wettbewerbs gleich viele Punkte, so muss die Gesamtpunktzahl ohne Rest durch 5 teilbar sein, es müssen also insgesamt genau 20 oder 25oder 30 Punkte vergeben worden sein.
(5a) Eine Gesamtzahl von 20 Punkten ist nur möglich, wenn alle 10 Spiele unentschieden enden. Offenbar ist ein solcher Wettbewerbsverlauf auch realisierbar und jeder Spieler erzielt dabei 20:5 = 4 Punkte.
(5b) Die Gesamtpunktzahl 30 nur möglich, wenn keines der 10 Spiele unentschieden endet. Hierbei erzielt jeder Spieler 30:5 = 6 Punkte und gewinnt bzw. verliert jeweils 2 Spiele.Auch ein solcher Verlauf ist realisierbar. Sei beispielsweise S = { A, B, C, D, E } die Spielermenge und bedeute die Schreibweise P>Q mit P,Q aus M, dass Spieler P das Spiel gegen Q gewonnen hat, dann ist { A>B, A>C, B>C, B>D, C>D, C>E, D>E, D>A, E>A, E>B } ein Wettbewerbsverlauf, bei dem jeder Spiele genau zwei Spiele gewinnt und die beiden anderen verliert.
(5c) Werden insgesamt 25 Punkte vergeben, so bekommt jeder Spieler 25:5 = 5 Punkte. Da ein Spieler genau vier mal spielt und dabei jedesmal 3, 1 oder 0 Punkte erzeilt und 5 = 3 + 1 + 1 + 0 die einzige Möglichkeit ist, 5 als Summe von vier Summanden aus { 3, 1, 0 }darzustellen, muss hier jeder Spieler genau einmal gewinnen bzw, verlieren und genau zweimal unentschieden spielen. Im Wettberb gibt es dann genau 5 unentschiedene Spiele. Ist dieser Verlauf auch realisierbar? Bedeute P=Q für P, Q aus M, dass das Spiel P gegen Q unentschieden endet, dann ist { A>B, A=C, B>C, B=D, C>D, C=E, D>E, D=A, E>A, E=B } eineRealisierung mit jeweils einem Sieg, einer Niederlage, zwei Unentschieden und jeweils 5 Punkten für jeden Spieler.
Bei vollständig ausgeglichenem Punktestand am Schluss des Wettbewerbs hat also jeder Spieler
(a) 4 Punkte und alle 10 Spiele enden unentschieden oder
(b) 6 Punkte und kein Spiel endet unentschieden oder
(c) 5 Punkte und 5 Spiele enden unentschieden.
