Differentialgleichung zur Vermehrung von Bakterien in begrenzter Nährlösung

Question

In einer Schale werden a Gramm Bakterien zu b Gramm einer Nährlösung gegeben. Die Bakterien vermehren sich proportional (mit Faktor α) zur vorhandenen Biomasse (Menge an Bakterien) und zur vorhandenen Nährlösung. Letztere wird proportional zur Biomasse verbraucht (mit Faktor β). Wie lauten die Teifunktionen x(t) der Biomasse und y(t) der Nährlösung? Nach wie vielen Stunden ist die Hälfte der Nährlösung verbraucht, wenn a = 0,5g, b = 5g, sowie α = 1,2 · 10^-3(gh)^-1 und β = 9 · 10^-2h^-1 sind?

Comments

Und? Was willst Du wissen? Wie man die Gleichungen aufstellt? Oder hast Du die schon zusammen?

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Die Differentialgleichungen, mit denen ich dann die Zeitfunktionen (in der Aufgabenstellung falsch als "Teifunktionen" geschrieben) bestimmen kann, würde ich gern wissen.

Anhand der Aufgabenstellung würde ich denken, dass

x'(t) = α x y

und

y'(t) = -β x

gelten muss, aber da ich mit diesen beiden Gleichungen nicht weiter komme, denke ich dass diese falsch sind.

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Das sind auch die Gleichungen, die ich hinschreiben wuerde. Wie man unter

https://www.wolframalpha.com/input/?i=dx%2Fdt%3D0.0012xy%3B+dy%2Fdt%3D-0.09x%3B+x(0)%3D0.5%3B+y(0)%3D5

sehen kann, ist die Lösung mit elementaren Funktionen darstellbar. Wie man das selber ausrechnen kann, muesste man sich ueberlegen, faellt mir spontan gerade auch nichts zu ein.

Answer 1

Kurze Lösungsskizze: Bei $$\frac{dx}{dt} = \alpha xy\quad\wedge\quad\frac{dy}{dt}=-\beta x$$ kann man die erste Gleichung durch die zweite teilen: $$\frac{dx}{dy}=-\frac{\alpha}{\beta} y$$ Integration ergibt dann: $$x=-\frac{\alpha}{2\beta}y^2+C$$ Eingesetzt in die zweite macht:$$\frac{dy}{dt}=\frac{\alpha}{2}y^2-\beta C$$ Die ist jetzt separierbar und liefert am Ende die Lösungen.

Comments

Wie ich die DGL der letzten Zeile mittels Separation lösen kann, ist mir leider nicht klar.

Könntest du mir dort weiterhelfen?

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Die Separation geht so: $$\int\frac{dy}{(\alpha/2)y^2-\beta C}=\int dt$$ Das \(C\) bestimmst Du am besten vorher schon so, dass die Anfangswerte \((a,b)\) auf der Bahnkurve draufliegen.