Vereinfachen Sie die folgenden Aussagen so weit wie möglich.

Question

Seien P und Q zwei beliebige, einstellige Logikprädikate über der Grundmenge X. Vereinfachen Sie die folgenden Aussagen so weit wie möglich.

1)

  \( ∀v ∈ X(¬(∃w ∈ X\quad ∃x ∈X\quad ∀y ∈ X\quad ∃z ∈ X\quad : P(w) ∧ P(x) ∧ Q(y) ∧ ¬Q(z) ∧ ¬P(w))) \)

2)
\( ¬∃w ∈ X\quad : ¬P(x) ∧ (¬(Q(x) ⇒ Q(x)) ∨ (¬P(x) ⇒ P(x)))\)

Ich gaube dass bei der 2) nur \( ¬∃w ∈ X :  ¬P(x) ⇒ P(x)\) rauskommt, richtig? Und wie ist es denn bei der 1)?

Ich hätte es so gemacht:

  \( ∀v ∈ X(¬∃w ∈ X\quad ¬∃x ∈X\quad ∃y ∉ X\quad ¬∃z ∈ X\quad : ¬P(w) ∨ ¬P(x) ∨ ¬Q(y) ∨ Q(z) ∨ P(w)) \).

Oder kann man es noch weiter vereinfachen? So vieleicht? \( ∀v ∈ X( ∃y ∉ X : ¬P(w) ∨ ¬P(x) ∨ ¬Q(y) ∨ Q(z) ∨ P(w)) \)

Answer 1

\(∀v ∈ X (¬(∃w ∈ X\quad ∃x ∈X\quad ∀y ∈ X\quad ∃z ∈ X\quad :\)

\(P(w) ∧ P(x) ∧ Q(y) ∧ ¬Q(z) ∧ ¬P(w)))\)

P(w) ∧ P(x) ∧ Q(y) ∧ ¬Q(z) ∧ ¬P(w)   ist für alle w ∈ X falsch

¬(∃w∈X ∃x∈X ∀y∈X ∃z∈X: (P(w) ∧ P(x) ∧ Q(y) ∧ ¬Q(z) ∧ ¬P(w)) ist also wahr

Die stärkste Vereinfachung ist " w ".

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Edit:

¬∃w ∈ X :(¬P(x) ∧ (¬(Q(x) ⇒Q(x)) ∨ (¬P(x) ⇒ P(x)))

   <=> w 

denn

 ¬P(x) ⇒ P(x) ist falsch für alle x∈X, also ist (¬(Q(x) ⇒Q(x)) ∨ (¬P(x) ⇒ P(x)) falsch für alle x∈X  

dann ist auch ¬ P(x) ∧ (¬(Q(x) ⇒Q(x)) ∨ (¬P(x) ⇒ P(x)) falsch für alle x∈X

¬ ∃w ∈ X: (¬ P(x) ∧ ((¬P(x) ⇒ P(x)))  ist also wahr

 

Comments

Vielen Dank schonmal.

Heißt das, dass bei der 1) dann

\(∀v ∈X (¬(∃x ∈ X\quad ∀y ∈X\quad ∃z∈ X : P(x) ∧ Q(y)∧ ¬Q(z))) \) am weitesten vereinfacht ist?

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Wenn man die Negation ausklammern würde, würde dann auch x und z wegfallen?

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Und noch eine Frage:

Muss in der letzten Lösung nicht  \( ¬∃x ∈ X... <=> ∀x∈P(x) \) stehen?

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zu 1)  die weiteste Vereinfachung ist "w" und deine Vereinfachung ist falsch

zu 2)  deine Frage macht keinen Sinn: den Quantor ¬∃ kann man nicht ausklammern.

zu 3)  Die vorgegebene Aussage ist  ⇔∀ω ∈ X: P(x)

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Tut mir leid, bin durcheinender gekommen.

Heißt dass jetzt dass bei der 1) nur w als Ergebnis rauskommt?
 
Ich wollte nicht den Quantor ¬E ausklammern, ich dachte dass man die geammte Aussage in der Klammer verneinen und so das ¬ wegkriegen könnte, also in dem Stil von ¬(¬A∨B) => (A∧¬B).

Und wie kommt man in der 2) auf ihr Ergebnis von  \(¬∃w ∈ X\quad : ¬P(x) ∧ (¬(Q(x) ⇒ Q(x)) ∨ (¬P(x) ⇒ P(x))\)
\(<=> ∀w ∈ X : P(x)\) ?
Da verstehe ich den Schritt von \(¬∃x ∈ X\) auf  \(¬∃w ∈ X\) nicht. Es gibt bei der 2) ja kein w.

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Das ständige Hantieren mit den Quantoren nervt!

Ich antworte Im  EDIT der Frage

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OH, bei der 2) hatte ich mich verchrieben. Tut mir leid.

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Es heißt \( ¬∃x ∈ X\quad : ¬P(x) ∧ (¬(Q(x) ⇒ Q(x)) ∨ (¬P(x) ⇒ P(x)))\) Aber ich glaube es ist ja analog zu ihrer Lösung.

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Ok, die 2) habe ich verstanden dann.

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Könnten sie in der Fragestellung auch die 2) editieren? Würde die anderen nicht durcheinander bringen.

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Hallo Wolfgang,

Macht es echt kein Unterschied wenn bei der Aussage in der 2) ¬∃x ∈X... statt ¬∃w∈X... steht wie Sam94 sagte? Weil die Aussage ja so von einer variabel w abhängig wäre.

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Nein, so wie ich es verstanden habe ist es irrelevant. Falls ich mich irre hoffe ich, dass -Wolfgang- mich korrigiert.

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Wenn die Aussage A(x) für alle x∈X falsch ist, kann es doch kein ω existieren, für dass A(x) nicht falsch ist.

Ich finde das mit dem ω allerdings auch seltsam.

Ich glaube, das ω ist ein Tippfehler, sollte wohl x heißen.

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Ja, es war ein Tippfehler von mir in der 2).

Also die 2) lautet:

\( ¬∃x∈X:¬P(x)∧(¬(Q(x)⇒Q(x))∨(¬P(x)⇒P(x))) \)

Macht aber bei ihrer Lösung kein Unterschied ne? Die Vereinfachung ergibt dann auch wahr.

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Nein, nach Wolfgangs Rechnung nicht.

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Kann man bei der 1) dann nicht auch schreiben:

∀w∈X

oder ist hier in dem Fall nur "w" richtig? :)

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Meinst du nicht ∀v∈X ? ;)

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Ich glaube man schreibt: ∀v∈X = wahr. Bzw. die Aussage ist für alle v∈X wahr.

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Obwohl mit vereinfachen auch nur umformen gemeint ist dachte ich.

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Ich bin leider auch etwas verwirrt :P
Weil man soll ja erstmal nur umformen. Also bei 1) das nach dem Doppelpunkt ist ja wegen P(w)∧¬P(w) alles falsch bzw. wahr je nachdem wie man es nun betrachtet. Aber wieso verschwinden dann vorne ∃x∈X, ∀y∈X, usw.? Kann man die einfach wegstreichen, weil die Variablen nicht mehr benötigt werden oder wie kommt man darauf? :)

Weil -Wolfgang- meinte oben ja mal, dass gilt: "die weiteste Vereinfachung ist "w""
Dabei ist ja so gut wie alles weggefallen :)

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Ich habe unter "w" nur "wahr" verstanden. Also dass dadurch, dass ...(P(w) ∧ P(x) ∧ Q(y) ∧ ¬Q(z) ∧ ¬P(w)... weggfällt, die geammte Aussage wahr ist. Aber da mit vereinfachen ja umformen gemeint ist, bin ich auch total vewirrt.

Ich könnte be der 1) nur so weit vereinfachen:

∀v ∈ X(¬(∃w∈X ∃x∈X ∀y∈X ∃z∈X: (P(w) ∧ P(x) ∧ Q(y) ∧ ¬Q(z) ∧ ¬P(w)))

∀v ∈ X(¬(∃w∈X ∃x∈X ∀y∈X ∃z∈X: ( P(x) ∧ Q(y) ∧ ¬Q(z)))

Weil sich P(w) ∧ ¬P(w) ausschließt.

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Achso ja kann gut sein :P

Oder vielleicht meint man es auch so:

∀v ∈ X(¬(∃w∈X ∃x∈X ∀y∈X ∃z∈X: (P(w) ∧ P(x) ∧ Q(y) ∧ ¬Q(z) ∧ ¬P(w)))

∀v ∈ X(¬(∃w∈X ∃x∈X ∀y∈X ∃z∈X: (P(w) ∧ ¬P(w) ∧ P(x) ∧ Q(y) ∧ ¬Q(z) ))

Dann ist nun P(w) ∧ ¬P(w) falsch, was dazu führt, dass (P(w) ∧ ¬P(w) ∧ P(x) ∧ Q(y) ∧ ¬Q(z)) falsch ist

Dann hat man ja ∀v ∈ X(¬(∀w∈X ∀x∈X ∃y∈X ∀z∈X: (Aussage Falsch)))

und durch die Negation am Anfang wieder

∀v ∈ X(∃w∈X ∃x∈X ∀y∈X ∃z∈X: (Aussage wahr)

Und dann ist es halt egal was für v,w,x,y,z wählt
Die Aussage ist immer wahr

Vlt meint man es so :)

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Klingt absolut logisch =)

Könnte vielleicht ein Profi sagen ob's stimmt? Dass schlimme ist ja, dass wir weder so eine Aufgabe jemals gemacht haben, noch dass es ansatzweise vergleichbare Aufgaben mit Lösungen gibt.

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Also nach dieser Lösung von dieser Aufgabe stimmt es was du bzw. -Wolfgang- gesagt haben.

https://www.mathelounge.de/50290/vereinfachen-sie-die-folgenden-logischen-ausdrucke-%C2%ACa-%C2%ACb-%C2%ACa