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Sei n € N ungerade. Zeigen Sie:

a € No mit n^2 = 8*a+1


wie kann ich das beweisen?

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zum Beispiel per Induktion oder kürzer über den einfachen Umstand, dass wenn

\(n\) ungerade ist eine der Zahlen \(n-1\) und \(n+1\) durch \(2\) und die andere durch \(4\) teilbar ist.

Gruß

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Sei n € N ungerade. Zeigen Sie:

Es gibt ein a € No mit n2 = 8*a+1 müsste es wohl heißen

Für n=1 ist das  - mit a=0 - wahr:  12 = 8 • 0 + 1

Die Aussage sei für ein beliebiges aber festes n wahr mit a = an.

Der Induktionsschluss (An) -> A(n+2) hat wegen "n ungerade" die "Schrittlänge" 2.

IV: n2 = 8*an + 1 

(n+2)2 = n2 + 4n + 4 =IV  8 • an + 1 + 4 •  2 • (n+1)/2 = 8 • [ an + (n+1)/2 ] + 1 = 8 • an+2 + 1

an+2 = [ an + (n+1)/2  ] ∈ ℕ0  weil an ∈ ℕ0 und - wegen n ungerade - [(n+1)/2] ∈ ℕ0

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