Sei n € N ungerade; zu zeigen:

Question

Sei n € N ungerade. Zeigen Sie:

a € No mit n^2 = 8*a+1

wie kann ich das beweisen?

Answer 1

zum Beispiel per Induktion oder kürzer über den einfachen Umstand, dass wenn

\(n\) ungerade ist eine der Zahlen \(n-1\) und \(n+1\) durch \(2\) und die andere durch \(4\) teilbar ist.

Gruß

Answer 2

Sei n € N ungerade. Zeigen Sie:

Es gibt ein a € No mit n² = 8*a+1 müsste es wohl heißen

Für n=1 ist das  - mit a=0 - wahr:  1² = 8 • 0 + 1

Die Aussage sei für ein beliebiges aber festes n wahr mit a = a_n.

Der Induktionsschluss (An) -> A(n+2) hat wegen "n ungerade" die "Schrittlänge" 2.

IV: n² = 8*a_n + 1 

(n+2)² = n² + 4n + 4 =_IV  8 • a_n + 1 + 4 •  2 • (n+1)/2 = 8 • [ a_n + (n+1)/2 ] + 1 = 8 • a_n+2 + 1

a_n+2 = [ a_n + (n+1)/2  ] ∈ ℕ₀  weil a_n ∈ ℕ₀ und - wegen n ungerade - [(n+1)/2] ∈ ℕ₀