Question

Berechenen sie den inhalt der Fläche, die vom Grafen G der Tangente an den Grafen in P und der x-Achse Begrenz wird.

g(x) =0,5x² 

P(3/4,5)

Answer 1

g(x) =0,5x  , P(3/4,5)

g '(x) = x 

Die Tangente in P an G_g hat die Steigung m_t =  g ' (3) = 3

Gleichung der Tangente nach der Punkt-Steigungsformel  y = m_t • (x - x_p) + y_p 

y = t(x) = 3 • ( x - 3) + 4,5

t(x) = 3x - 4,5

Zur Flächenberechnung wird die Schnittstelle x_t der Tangente mit der x-Achse benötigt:

t(x) = 3x - 4,5 = 0 ->  x_t = 1,5

gesuchte Fläche:

A = \(\int_{0}^{1,5} \! 0.5x^2 \, dx\) + \(\int_{1,5}^{3} \! [0,5x^2-(3x-4,5)] \, dx\)

A = [ 1/6 x³ ]₀^1,5 +  [ 1/6 x³ - 3/2x² + 4,5x ]_1,5³

A =  9/16 + 9/16 = 18/16 = 9/8

Gruß Wolfgang