Hi,
die Ableitung ist f'(x)=0,5(e^x+e^{-x}).
Wenn man diese Nullsetzen will, erhält man
0,5(e^x+e^{-x})=0
e^x=-e^{-x}
Die e-Funktion selbst hat aber keinen Vorzeichenwechsel. Da wir links positiv sind und rechts negativ, haben wir keine Nullstelle.
Wenn man noch bedenkt, dass f(x)=0,5(ex-e^{-x})=sinh(x) ist, dann passt das auch. Der hat keine Extremstellen ;).
Grüße