Mengenlehre; Welche der folgenden Aussagen sind stets wahr?

Question

Seien X, Y Mengen und f: X -> Y eine Abbildung sowie A c X, B c Y. Welche der folgenden Aussagen sind stets wahr? Man beweise diese und wiederlege die anderen durch Angabe eines Gegenbeispiels.

Comments

Nach etwas Schlaf konnte ich nachvollziehen warum b nicht stets wahr ist. Ich lege mein Gegenbeispiel bei. Wenn du einen Blick rauf werfen könntest wäre das toll, nur um mir zu sagen ob das so reicht.

Ich weiß aber leider nicht, was du mit einfach Definition abklappern meinst, könntest du das bitte elaborieren?

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Ja das geht doch voll klar. (Es ist wichtig zu erkennen, dass die fehlende Injektivität grundlegend ist).

Mit Definitionen abklappern meine ich, dass sich so ein Beweis fast von alleine schreibt wenn man nur mal notiert was da eigentlich steht. (übrigens ist es besser, wenn du unter meiner Antwort kommentierst, da ich dann eine Nachricht bekomme und darauf aufmerksam werde, sonst hätte ich wo möglich diesen Kommentar von dir übersehen).

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Supi ich habe jetzt zu a) inzwischen folgendes geschrieben:

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Erstmal interessanter Ansatz :), aber leider nicht ganz richtig gefolgert. Das gute aber ist, dass du mich auf meinen eigenen Fehler damit hingewiesen hast, sorry dafür, die Aussage in a) ist nämlich auch falsch. Ich editiere meine Antwort weiter unten.

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Ich sehe glaube ich worauf du hinaus willst. 

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Ja das Gegenbeispiel passt aber das letzte "denn..." kannst du weglassen.

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Danke vielmals für deine Hilfe :D

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Kein Thema, hab ja kaum was gemacht ;).

Answer 1

b) ist im allgemeinen falsch, einfaches Gegenbeispiel.

Edit: a) ist ebenfalls falsch, ich habe übersehen, welche Möglichkeiten sich ergeben wenn man eine nicht surjektive Funktion verwendet (als Hinweis zum Gegenbeispiel ;)).

Gruß

Answer 2

a) ist wahr. Das folgt ziemlich direkt aus den Definitionen von Funktionsanwendung auf Mengen:

• f^-1(M) := {x | f(x)∈M}für jedes M⊆Zielmenge(f).
  
• f(M) := {y | ∃m∈M f(m)=y} für jedes M⊆Definitionsmenge(f).

Surjektivität spielt da keine Rolle.

Comments

Soso, Gegenbeispiel nicht verstanden?Vielleicht noch eins?
f: R -> R, f(x) = x^2. Und B = [-1,1].