Polardarstellung für Komplexe Zahlen

Question

Hallo

ich komm bei dieser Aufgabe nicht mehr weiter und benötige euren Rat.

man soll diese Aufgabe geometrisch in einer Polardarstellung skizzieren

(i+1/√2)^2015

bisher weiß ich das es in den Komplexen Zahlen einen Realen und einen imaginären Teil gibt . 

Mit z = a+bi kann man z als punkt in der Polardarstellung skizzieren r = √x^2+y^2 der Abstand zum Ursprung

und den Winkel φ einzeichnen. Ist √2 das a und 1+i = b?

Wie kann ich die Klammer auflösen und a und bi in die Polardarstellung skizzieren?

Kann mir bitte jemand weiterhelfen ich versteh nicht wie ich diese Aufgabe anfangen kann umzuwandeln.

Danke schon mal im voraus

Comments

ich gehe davon aus das in der Klammer eigentlich steht: \( \frac{i+1}{\sqrt{2} }\) und nicht \( i + \frac{1}{\sqrt{2}} \). Richtig?

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genau richtig

Answer 1

nachdem dies geklärt ist :). 
Für die komplexe Zahl \( z = \frac{i+1}{\sqrt{2} }\) ist der Realteil \( a=\Re(z) = \frac{1}{\sqrt{2}} \) und der Imaginärteil \( b = \Im(z) = \frac{1}{\sqrt{2}} \). Also gleich, was bedeutet, dass diese Zahl in der komplexen Ebene auf der Diagonalen im 1. Quadranten liegt (dadurch weiß man eigentlich auch schon den Winkel \( \varphi\)). 

Die Polardarstellung von \(z\) erhalten wir wie du schon teilweise beschrieben hast durch \( r = \sqrt{a^2+b^2} = 1 \) und den Winkel (den wir zwar schon kennen, aber extra zum nachrechnen) \( \varphi = \tan \left( \frac{b}{a} \right) = 45° = \frac{\pi}{4} \). 

Jetzt kannst du die \(z^{2015} \) sehr einfach über die Polardarstellung berechnen. 
Gruß

Comments

Hallo 

kurze Frage wenn  r=1  φ=π/4 und z^2015 sind

dann ist doch die Rechnung z = x +iy = r(cos(φ) + sin(φ))

z= cos(π/4) + i sin(π/4) = ✓1/2 + i  ✓1/2

und was macht man mit z^2015?

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Diese Wahl der Polardarstellung ist echt nicht sehr vorteilhaft.

Verwende $$\Large  z = e^{\frac{\pi}{4}i}$$.