Eigentlich kannst du das ganze komplett wieder vergessen, aber ich versuch dir mal aufzuzeigen was für eine Käse da steht:
Sei A eine nichtleere Teilmenge von ℕ0. Weiterhin sei A eine Menge mit
endlich vielen Elementen m.
Ok.
Daraus folgt, dass m < n gilt
Aha wo kommt aufeinmal \(n\) her und warum gilt das?
das alle m
Element von A sind.
??? Ich dachte \(m\) ist die Anzahl der Elemente von \(A\) warum soll das jetzt Element sein und was meinst du mit alle "\(m\)"?
A = {m ∈ A | m < n}, als Beispiel: A = {0, 1, 2, ..., n-1}.
Doch wie soll ich nun per Induktion zeigen, dass 0 das kleinste Element ist?
Das passt gar nicht. Es geht darum allgemeine Teilmengen zu betrachten nicht nur die Teilmengen von 0 bis irgendeiner Zahl. Erst an dieser Stelle wird auch klar was du vorher mit deinem Absatz gemeint hast. Das ist keine sinnvolle Ordnung.
Ein Ansatz wäre eventuell: ∑n-1i=1 n-1. Für A(1) = 0.
Warum aufeinmal eine Summe? Was berechnest du da?
-> Wie du siehst ist das ganze sehr verwirrend.
Der Induktionsanfang ist, dass du zeigst, dass eine beliebige ein-elementige Teilmenge der natürlichen Zahlen ein Minimum besitzt (was ja recht trivial ist).