Zeigen Sie die folgenden Aussagen mittels vollständiger Induktion:

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie die folgenden Aussagen mittels vollständiger Induktion:
1. Für alle natürlichen Zahlen $n \in \mathbb{N}$ gilt
$\sum \limits_{k=1}^{n} k^{2}=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6} .$
2. Für alle natürlichen Zahlen $n \in \mathbb{N}$ gilt
$\sum \limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}=1-\frac{1}{n+1} .$
3. Für alle natürlichen Zahlen $n \geq 5$ gilt $n^{2}<2^{n}$.

Answer 1

Zu 3.:

Induktionsschritt:

Wegen $(n-1)^2\geq 2$ für $n\geq 5$ gilt

$2n+1\leq n^2$. Es ist

$(n+1)^2=n^2+2n+1\stackrel{\text{IV}}{<}2^n+2n+1\leq 2^n+n^2\stackrel{\text{IV}}{<}2^n+2^n=2^{n+1}$

Answer 2

$\sum \limits_{k=1}^{n} k^{2}=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6} .$

Für n=1 steht da    1 = 6/6  ✓

Wenn es für ein n stimmt  $\sum \limits_{k=1}^{n} k^{2}=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6} .$#

dann folgt

$\sum \limits_{k=1}^{n+1} k^{2}=\sum \limits_{k=1}^{n} k^{2} + (n+1)^2$

mit # also $=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6} + (n+1)^2$

Das formst du um auf $\frac{(n+1)(n+2)(2 n+3)}{6} .$

bzw. zeigst, dass beide Terme gleich sind, und bist fertig.