Zeigen Sie die folgenden Aussagen mittels vollständiger Induktion:

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie die folgenden Aussagen mittels vollständiger Induktion:
1. Für alle natürlichen Zahlen \( n \in \mathbb{N} \) gilt
\( \sum \limits_{k=1}^{n} k^{2}=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6} . \)
2. Für alle natürlichen Zahlen \( n \in \mathbb{N} \) gilt
\( \sum \limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}=1-\frac{1}{n+1} . \)
3. Für alle natürlichen Zahlen \( n \geq 5 \) gilt \( n^{2}<2^{n} \).

Answer 1

Zu 3.:

Induktionsschritt:

Wegen \((n-1)^2\geq 2\) für \(n\geq 5\) gilt

\(2n+1\leq n^2\). Es ist

\((n+1)^2=n^2+2n+1\stackrel{\text{IV}}{<}2^n+2n+1\leq 2^n+n^2\stackrel{\text{IV}}{<}2^n+2^n=2^{n+1}\)

Answer 2

\(\sum \limits_{k=1}^{n} k^{2}=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6} . \)

Für n=1 steht da    1 = 6/6  ✓

Wenn es für ein n stimmt  \(\sum \limits_{k=1}^{n} k^{2}=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6} . \)#

dann folgt

\(\sum \limits_{k=1}^{n+1} k^{2}=\sum \limits_{k=1}^{n} k^{2} + (n+1)^2 \)

mit # also \( =\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6} + (n+1)^2 \)

Das formst du um auf \(  \frac{(n+1)(n+2)(2 n+3)}{6} . \)

bzw. zeigst, dass beide Terme gleich sind, und bist fertig.