Aloha :)
Zu zeigen:\(\quad \green{3^n>7n^2}\quad\text{für }n\ge 5\)
Verankerung bei \(n=5\):$$3^n=3^5=243>175=7\cdot25=7n^2\quad\checkmark$$
Induktionsschritt von \(n\) auf \((n+1)\):
Es ist \(n\ge2\), also \(\underbrace{2n}_{\ge4}\cdot\underbrace{(n-1)}_{\ge1}\ge4\) ist. Damit gilt auch:$$2n(n-1)\ge4\implies 2n^2-2n\ge4\implies2n^2\ge2n+4\implies\pink{2n^2>2n+1}$$
Damit gehen wir in den Induktionsschritt:$$3^{n+1}=3\cdot\green{3^n>}3\cdot\green{7n^2}=21n^2=7n^2+7\cdot\pink{2n^2}\pink>7n^2+7\cdot(\pink{2n+1})$$$$\phantom{^{n+1}}=7n^2+14n+7=7\cdot(n^2+2n+1)=7(n+1)^2\quad\checkmark$$