Beweisen Sie mit vollständiger Induktion die folgenden Aussagen

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie mit vollständiger Induktion die folgenden Aussagen:

Für alle n ∈ ℕ mit n ⩾ 5 gilt: 3ⁿ > 7n²

Answer 1

Aloha :)

Zu zeigen:\(\quad \green{3^n>7n^2}\quad\text{für }n\ge 5\)

Verankerung bei \(n=5\):$$3^n=3^5=243>175=7\cdot25=7n^2\quad\checkmark$$

Induktionsschritt von \(n\) auf \((n+1)\):

Es ist \(n\ge2\), also \(\underbrace{2n}_{\ge4}\cdot\underbrace{(n-1)}_{\ge1}\ge4\) ist. Damit gilt auch:$$2n(n-1)\ge4\implies 2n^2-2n\ge4\implies2n^2\ge2n+4\implies\pink{2n^2>2n+1}$$

Damit gehen wir in den Induktionsschritt:$$3^{n+1}=3\cdot\green{3^n>}3\cdot\green{7n^2}=21n^2=7n^2+7\cdot\pink{2n^2}\pink>7n^2+7\cdot(\pink{2n+1})$$$$\phantom{^{n+1}}=7n^2+14n+7=7\cdot(n^2+2n+1)=7(n+1)^2\quad\checkmark$$

Answer 2

Hallo

multipliziere die Iduktionsvorsetzung mit 3 und benutze (n+1)^2<3n^2 für n>=5 das musst du kurz zeigen.

Gruß lul

Comments

Wie kommst du auf (n+1)²<3n² ?

Könntest du mir bitte die einzelnen Induktionsschritte am besten genauer erklären?

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a)6^2<3*5^2

allgemein n^2+2n+1<n^2+2n^2 denn 2n+1<2n^2

2*5+1<2*5^2   sogar 2n+1<n^2   oder 2n<(n+1)*(n-1) für n-1>2

lul