Wie kann man eine Ungleichung beweisen?

Question

Kann mir jemand bei der Aufgabe helfen wie man die Ungleichung

x +1/x > 2 beweist ?

Answer 1

x +1/x > 2
D = ℝ \ { 0 }

Hier meine Berechnungen

( x -1 )^2 < 0  | Nie

Quadrate sind stets positiv oder 0.

mfg Georg

Comments

Fehlerkorrektur
Nachtrag
wie jf1122 schon nachwies

für x > 0 gilt
( x -1 )^2 > 0
also für alle x außer x = 1.

Answer 2

Eine andere Möglichkeit ist folgende:
Für \(x>0\) gilt: \(x+\frac{1}{x}=\frac{x^2+1}x=\frac{x^2-2x+1+2x}x=\frac{x^2-2x+1}x+\frac{2x}x=...\).

Comments

@Nick
mir erschließt sich noch nicht der Sinn des Umformens.

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Es geht so weiter:
\(...=\frac{(x-1)^2}{x}+2\geq 2\) (diese Abschätzung gilt, weil der Zähler \((x-1)^2\) größer/gleich Null ist und der Nenner \(x\) größer Null; also ist der Bruch größer/gleich Null).

Bei deiner Antwort hast du übrigens nicht beachtet, dass im Fall \(x>0\) auch Gleichheit eintreten kann, nämlich bei \(x=1\). Dann ist \((x-1)^2=0\).

Die Ungleichung \(x+\frac 1x>2\) gilt also nur für \(x\in(0,1)\cup(1,\infty)\) (was der Fragesteller sinnvollerweise auch hätte erwähnen sollen).

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Bei deiner Antwort hast du übrigens nicht beachtet...
Wurde mit meinem 1.Kommentar zur eigenen Antwort
schon korrigiert.

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Ah, das hatte ich übersehen.

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Ich denke die Lösungsmenge anzugeben ist mehr Sache des
Antwortgebers.

Deine Lösung stimmt auch nicht da du x = 0 mitanführst.

mfg Georg

Nachtrag : wie es dem anderen Antwortgeber auch schon
auffiiel ist die Aufforderung

Kann mir jemand bei der Aufgabe helfen wie man die Ungleichung 

x +1/x > 2 beweist ?

ja leider nicht möglich da die  Aussage nicht zutrifft. Ein Gegenbeispiel
mit x = -1 genügt.

" Gib die Lösungsmenge an " wäre als Fragestellung besser.

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"Deine Lösung stimmt auch nicht da du x = 0 mitanführst."
Wo mache ich das?

Der Fragesteller hätte eher schreiben sollen: "Beweise, dass für alle \(x\in(0,1)\cup(1, \infty)\) gilt: ..."

Und nein, das ist nicht Aufgabe des Antwortenden.

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zum ersten Punkt : wahrscheinlich ein Mißverständnis
wahrschelich ist das Symbol " ( "  äquivalent zu " ] "

Eventuell kann der Fragesteller einmal angeben wie der
Orginalfragetext ist oder was was er beantwortet haben wollte.

mfg Georg

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Achso. Da gibt es unterschiedliche Notationen: Eckige Klammern, die "nach außen" zeigen, bedeuten das selbe wie runde Klammern. Also z.B. \((a,b)=\ ]a,b[,\ (a,b]=\ ]a,b]\) usw. Ich finde allerdings die Version mit runden Klammern schöner.

Answer 3

Kann mir jemand bei der Aufgabe helfen wie man die Ungleichung x +1/x > 2 beweist?

Die Ungleichung ist nicht allgemein gültig und kann daher so nicht "bewiesen" werden! Immerhin kann man versuchen, sie zu lösen. Offenbar muss \(x>0\) gelten, um die Gleichung zu erfüllen. Damit lässt sich ohne Fallunterscheidung äquivalent umformen: $$ x + \frac 1x > 2 \quad|\quad-2\\\,\\ x - 2 + \frac 1x > 0 \quad|\quad\cdot x>0 \\\,\\ x^2 - 2x + 1 > 0 \\\,\\ \left(x - 1\right)^2 > 0 \\\,\\ x \ne 1. $$Die Gleichung wird also erfüllt für alle \(x\in\mathbb{R}\) mit \(x>0\) und \(x\ne1\).