Ist f surjektiv oder injektiv? f: ℝ2 →ℝ mit f((x1,x2)) := 2x1-x2.

Question

Die Abbildung f: ℝ² →ℝ sei definiert durch f((x₁,x₂)) := 2x₁-x₂.

a) Ist f surjektiv?
b) Ist f bijektiv?

Begründen Sie Ihre Antwort.

Answer 1

Die Abbildung f: ℝ² →ℝ sei definiert durch f((x₁,x₂)) := 2x₁-x₂.

a) Ist f surjektiv?
Sei y aus IR. Dann ist f( 0; -y) = y .
Also gibt es zu jedem Y aus IR (mindestens) ein Paar (a;b),  dessen Bild y
ist. Also f surjektiv
b) Ist f bijektiv?  f ist nicht injektiv, da z.B.
f(1;1) = f ( 0; -1 ) aber  (1;1) ≠ ( 0; -1 ).
Da nicht inj. auch nicht bijektiv.

Comments

Also zuerst einmal danke.
Mein Problem ist aber, dass ich die Aufgaben nicht anhand von Beispielen lösen darf, sondern, dass ich die Aufgaben allgemein lösen muss.

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Nachweise, dass eine Allaussage falsch ist, werden durch Gegenbeispiele
geführt.

Nachweise von Richtigkeit einer Existenzaussage

(und das ist ja die Aussage zur Surjektivität, die

besagt: Zu jedem y aus IR GIBT ES ein Paar (a,b) ...

werden durch Angabe eines Beispiels geführt.

Du hast das verwechselt mit dem Nachweis der

Richtigkeit einer Allaussage. Da genügt ein

Beispiel nicht.

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Achso. Okay, vielen Dank :)

Dann löse ich die Aufgabe anhand eines Beispiels.