Stimmt die aussage zur Teilbarkeit? Wenn ja wie kann man sie beweisen?

Question

Die Aussage ist:

m,n elemnt N, a element Z:

m|a und n|a -> mn|a

Ich komme.immer nur darauf, dass dann mn|a^2.

Bin n bissal am verzweifeln.

EDIT(Lu). Genauere Version gemäss Kommentar. (b) Sei zusätzlich ggT(m, n) = 1. Zeigen Sie ohne Verwendung des Fundamentalsatzes der Arithmetik: m|a ∧ n|a ⇒ mn|a

Comments

Wer sagt denn, dass das stimmt? Gegenbeispiel: \(m=n=a=2\).

Im Allgemeinen kann man daraus, wie du schon gesagt hast, nur \(mn\mid a^2\) folgern.

Gibt es vielleicht noch zusätzliche Voraussetzungen? Z.B. würde die Aussage stimmen, wenn \(m\) und \(n\) unterschiedliche Primzahlen sind.

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Seien m, n ∈ N, a ∈ Z.

(a) Zeigen Sie: mn|a ⇒ m|a ∧ n|a

(b) Sei zusätzlich ggT(m, n) = 1. Zeigen Sie ohne Verwendung des Fundamentalsatzes der Arithmetik: m|a ∧ n|a ⇒ mn|a

des ggT drückt aus dass m und n nur Primzahlen sind und nicht gleich oder? Hab ich überlesen, aber wie der Beweis gehen sollte weiß ich immer noch nicht.

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Was steht denn im "Fundamentalsatz der Arithmetik" genau?

ggT(n,m) = 1

heisst, dass die Primfaktorzerlegungen von m und n keine gemeinsamen Elemente enthalten.

Da sie alle in a enthalten sein müssen, und die Primfaktorzerlegung von a eindeutig ist, muss a durch das Produkt von all diesen Faktoren, also durch n*m teilbar sein.

Answer 1

b) ggT(m, n) = 1 sagt nur, dass m und n außer 1 keinen gemeinsamen Teiler (also auch keinen gemeinsamen Primfaktor in der Primfaktorzerlegung (PFZ) haben.

 m|a ∧ n|a ⇒ mn|a  ist dann aber trotzdem wahr.

 m|a ∧ n|a  ⇔ "Die PFZ von n und m kommen jeweils als Teilprodukte in der PFZ von a vor"

Wenn m und n keinen gemeinsamen Teiler haben, kommt aber auch die PFZ von mn in der PFZ  von a als Teilprodukt vor -> mn | a

Gruß Wolfgang

Comments

Hallo Wolfgang.

Soweit war ich gerade auch schon mit dem Primzahlen. Allerdings Fehlt dann noch das mathematische "zeigen", also der rechnerische Beweis, dass dem auch so ist.

n*m = k mit ggT(m,n)=1, b Element Z

b*k =  a

-> Z*k = a

????