Voraussetzungen zum Verstehen des Fundamentalsatzes der Algebra

Question

Mein Ziel für 2013 ist, den Fundamentalsatz der Algebra zu verstehen.

In der Wikipedia sind 4 Beweisarten aufgeführt:

1. Rein analytischer Beweis
2. Beweis mit Methoden der Topologie
3. Beweis mit dem Zwischenwertsatz und algebraischen Methoden
4. Beweis mit Methoden der Funktionentheorie
4.1 Fundamentalsatz der Algebra direkt aus dem Cauchyschen Integralsatz
5. Beweis mit Methoden der komplexen Geometrie

Ich möchte mich an den rein analytischen Beweis wagen: https://de.wikipedia.org/wiki/Fundamentalsatz_der_Algebra#Rein_analytischer_Beweis

Welche Grundlagen aus der Mathematik benötige ich hierfür?

Answer 1

Recht einfach sind meiner Meinung nach

4. Beweis mit Methoden der Funktionentheorie

4.1 Fundamentalsatz der Algebra direkt aus dem Cauchyschen Integralsatz

 

da man für den ersten lediglich den Begriff der holomorphen Funktion und den Satz von Liouville benötigt. Der zweite ist dann noch etwas ausführlicher, hat aber ein schönes "Ergebnis".

Das Problem ist, dass es sich um einen Beweis aus der komplexen Analysis handelt, der eigentlich nicht wirklich algebraisch ist, obwohl er eine höchst algebraische Aussage trifft (über das Lösungsverhalten von Gleichungen über ℂ.)

 

Für den analytischen Beweis brauchst du (soweit ich das so schnell überblicken kann) nur die Taylorentwicklung, die Dreiecksungleichung und den Maximumssatz über komplex, holomorphe Funktionen.