Auch hier würde vollständige Induktion gehen. Zeige zunächst, dass es für n = 0 gilt. Ausgehend davon zeigst du wenn es für n gilt, dann gilt es auch für n + 1 und auch für n - 1.
Damit arbeitest du dich in beide Richtungen vor. Das klappt.
n^5 - n = Eine Faktorzerlegung liefert
n·(n + 1)·(n - 1)·(n^2 + 1)
Du sieht das es für
n = 5k
n = 5k - 1 und
n = 5k + 1 gilt.
fehlt noch
n = 5k - 2 und
n = 5k + 2
((5k - 2)^2 + 1) = 5·(5·k^2 - 4·k + 1)
((5k + 2)^2 + 1) = 5·(5·k^2 + 4·k + 1)
Damit hat man es auch für alle n gezeigt.