Leiten Sie Rekursionsformeln der Gestalt

Question

\( { a }_{ n }{ I }_{ n+2 }(x) = { f }_{ n }(x) + { b }_{ n }{ I }_{ n }(x), \)  \(n ∈ { ℕ }_{ 0 } \) für die folgenden unbestimmten Integrale her:

1) $$ { I }_{ n }(x)=\int_{}^{}(1-{ x }^{ 2 }{ ) }^{ \frac { n-1 }{ 2 } } dx \quad \quad \quad (|x|<1) $$

2) $$ { I }_{ n }(x)=\int_{}^{}{ tan }^{ n }(x) dx \quad \quad \quad \quad (-\frac { π }{ 2 } < x< \frac { π }{ 2 } ) $$

Geben Sie auch Stammfunktionen für spezielle Werte von \( n \) an, die es im Prinzip erlauben, mit Hilfe der Rekursionsformel \({ I }_{ n }(x) \) für alle \( n ∈ { ℕ }_{ 0 } \) zu berechnen.

Hinweis: In Teil 1) führt partielle Integration zum Ziel, für Teil 2) beachte man \(tan'(x) = 1 + {tan}^{2}(x) \) und verwende die Substitutionsregel.

Answer 1

Versuch zu (2).$$I_{n+2}(x)=\int\tan^{n+2}x\,\mathrm dx=\int(1+\tan^2x)\cdot \tan^nx\,\mathrm dx-\int\tan^nx\,\mathrm dx.$$Substituiere \(z=\tan x\). Dann ist \(\mathrm dz=(1+\tan^2x)\,\mathrm dx\) und$$I_{n+2}(x)=\int z^n\,\mathrm dz-I_n(x)=\frac1{n+1}\tan^{n+1}x-I_n(x).$$