Ist natürlich klar, weil nmal um alpha drehen das
gleiche ist einmal um n*alpha zu drehen. Formal mit
Induktion geht es wohl so :
IV hattest du ja schon.
Das hieße ja du weisst (ich nehme mal x statt alpha)
A^n = cos(n*x) -sin(n*x)
sin(n*x) cos(n*x)
und musst zeigen, dass dann
An+1 = cos((n+1)*x) -sin((n+1)*x)
sin((n+1)*x) cos((n+1)*x)
nun ist ja A
n+1 = A
n * A
= cos(n*x) -sin(n*x) * cos(x) -sin(x)
sin(n*x) cos(n*x) sin(x) cos(x)
Das gibt die Matrix
= cos(n*x)*cos(x) + sin(n*x)*sin(x) cos(n*x) *(-sin(x) - sin(n*x)sin(x)
sin(n*x)*cos(x) + cos(n*x)*sin(x) -sin(n*x)*sin(x) + cos(n*x)*cos(x)
und wegen der Additionstheoreme von sin und cos ist das genau
cos(nx+x) -sin(nx+x)
sin(nx+x) cos(nx+x)
und das ist - wie gewünscht -
cos((n+1)*x) -sin((n+1)*x)
sin((n+1)*x) cos((n+1)*x) q.e.d.