Drehmatrix hoch n Formel beweisen

Question

Ich habe die Drehmatrix A=

  

und muss nun eine Formel finden für A^n. Ich habe es für n=2 ausgerechnet und sehe, dass es einfach überall n*alpha ist. Aber wie mache ich beim beweis den Induktionsschritt?

Ich habe I.V. mit n=1 und n=2.

I.S Ich weiss nicht wie ich den Induktionsschritt machen soll, weil ich noch nie eine vollständige Induktion mit einer Matrix gemacht habe.

Answer 1

Ist natürlich klar, weil nmal um alpha drehen das

gleiche ist einmal um n*alpha zu drehen. Formal mit

Induktion geht es wohl so : 

IV hattest du ja schon.

Das hieße ja du weisst  (ich nehme mal x statt alpha)

A^n =          cos(n*x)         -sin(n*x)

                   sin(n*x)          cos(n*x)

und musst zeigen, dass dann

Aⁿ⁺¹ =          cos((n+1)*x)         -sin((n+1)*x)

                     sin((n+1)*x)          cos((n+1)*x)
nun ist ja    Aⁿ⁺¹ =    Aⁿ    * A

=     cos(n*x)         -sin(n*x)            *           cos(x)         -sin(x)      
       sin(n*x)          cos(n*x)                          sin(x)          cos(x)
Das gibt die Matrix

= cos(n*x)*cos(x) + sin(n*x)*sin(x)             cos(n*x) *(-sin(x)  - sin(n*x)sin(x)
    sin(n*x)*cos(x)  + cos(n*x)*sin(x)             -sin(n*x)*sin(x)  + cos(n*x)*cos(x)               

und wegen der Additionstheoreme von sin und cos ist das genau

cos(nx+x)         -sin(nx+x)       

sin(nx+x)          cos(nx+x)

und das ist - wie gewünscht -

     cos((n+1)*x)         -sin((n+1)*x)   
     sin((n+1)*x)          cos((n+1)*x)               q.e.d.

Answer 2

Was passiert denn, wenn du Punkte der Koordinatenebene z.B. 2 mal nacheinander um den Winkel 10 ° um den Koordinatenursprung drehst? 

Es gibt eine Drehung um 20°.

Bei drei mal um 30°, bei 4 mal um 40° und bei n mal um n*10°.

Dann hättest du als Resultat die Drehmatrix D^n =

[cos(n*10°)  -sin(n*10°)

sin(n*10°)  cos(n*10°) ]

Dann noch 10° durch Alpha ersetzen 

Induktionsschritt. Wenn nach einer Drehung von n*A noch eine Drehung um A folgt, ergibt sich eine Drehung um nA + A = (n+1)A. qed. 

Answer 3

Induktionsvoraussetzung: \( n\in N \) und \(  \begin{pmatrix}\cos\alpha & -\sin\alpha\\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix}^n = \begin{pmatrix}\cos n\alpha & -\sin n\alpha\\ \sin n\alpha & \cos n\alpha \end{pmatrix} \)

Induktionsbehauptung: \( \begin{pmatrix}\cos\alpha & -\sin\alpha\\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix}^{n+1} = \begin{pmatrix}\cos ((n+1)\alpha) & -\sin ((n+1)\alpha)\\ \sin ((n+1)\alpha) & \cos ((n+1)\alpha) \end{pmatrix} \)

Beweis. \( \begin{pmatrix}\cos\alpha & -\sin\alpha\\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix}^{n+1} = \begin{pmatrix}\cos\alpha & -\sin\alpha\\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix}^{n} \cdot \begin{pmatrix}\cos\alpha & -\sin\alpha\\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\cos n\alpha & -\sin n\alpha\\ \sin n\alpha & \cos n\alpha \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}\cos \alpha & -\sin \alpha\\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix} = \dots \)