Drehmatrix und Spiegelmatrix

Question

Einleitung: (Gelbe = Meine Notiz)

Wir hatten für die Winkel 90°,45°,60° die Koordinaten der entsprechenden Punkte auf dem Einheitskreis ausgerechnet, also $e^{i\frac{π}{2}}$, $e^{i\frac{π}{4}}$, $e^{i\frac{π}{3}}$ explizit in der Form a + ib (cos(x) + i sin(x) wahrscheinlich) angegeben.

Aufgabe:

Geben Sie die Matrizen D_θ ∈ SO(2) für die Drehung um den Winkel θ und die Spiegelung S_θ ∈ O(2) an der Achse mit Winkel θ zur x-Achse für θ ∈ {90^◦,45^◦,60^◦,30^◦} explizit an, ohne dabei Winkelfunktionen (sin, cos) zu verwenden (vielleicht dann mit dem Satz des Pythagoras?). Berechnen Sie als Probe die Produkte ${D^2_{45}}$, ${D^2_{30}}$, ${D_{30}}$ ◦ ${D_{60}}$, ${S_{90}}$ ◦ ${S_{45}}$.

Problem

Wie soll das gehen, hat jemand eine Ahnung... Selbst wenn das mit Pythagoras gehen sollte wüste ich nicht wie :(

Answer 1

Sei

        $A = \begin{pmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}\\a_{2,1}&a_{2,2}\end{pmatrix}$.

Geben Sie die Matrizen Dθ ∈ SO(2) für die Drehung um den Winkel θ ... explizit an

Die Matrix muss zum Beispiel

        $A\cdot \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\Re(e^{\mathrm{i}\theta})\\\Im(e^{\mathrm{i}\theta})\end{pmatrix}$

erfüllen, weil $1+0\mathrm{i}$ nach $e^{\mathrm{i}\theta}$ gedreht wird.

Stelle so eine weitere Gleichungen auf und löse das Gleichungssystem.

Comments

Magst / Könntest du mir das einmal vor machen für eine Drehung um 90° stehe irgendwie auf dem schlauch.

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Für $\theta = 90°$ ist $e^{\mathrm{i}\theta} = 0 + 1\mathrm{i}$, also $\Re(e^{\mathrm{i}\theta}) = 0$ und $\Im(e^{\mathrm{i}\theta}) = 1$. Die Gleichung

        $A\cdot \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\Re(e^{\mathrm{i}\theta})\\\Im(e^{\mathrm{i}\theta})\end{pmatrix}$

wird dann zu

      $\begin{pmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}\\a_{2,1}&a_{2,2}\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$,

welche durch Ausrechnen der Matrix-Vektormultiplikation und Komponentenvergleich in die zwei Gleichungen

        $1a_{1,1}+0a_{1,2} = 0$

und

      $1a_{2,1}+0a_{2,2} = 1$

aufgeteilt werden kann.

Stelle so drei weitere Gleichungen auf und löse das Gleichungssystem.

Es sind nicht drei weitere Gleichungen der Form

        $A\cdot \vec x = \vec y$

notwendig, sondern nur eine.

Verfahre also ebenso indem du dir überlegst, wohin der Punkt $(0|1)$ gedreht wird.