Drehmatrix und Spiegelmatrix

Question

Einleitung: (Gelbe = Meine Notiz)

Wir hatten für die Winkel 90°,45°,60° die Koordinaten der entsprechenden Punkte auf dem Einheitskreis ausgerechnet, also \( e^{i\frac{π}{2}} \), \( e^{i\frac{π}{4}} \), \( e^{i\frac{π}{3}} \) explizit in der Form a + ib (cos(x) + i sin(x) wahrscheinlich) angegeben.

Aufgabe:

Geben Sie die Matrizen D_θ ∈ SO(2) für die Drehung um den Winkel θ und die Spiegelung S_θ ∈ O(2) an der Achse mit Winkel θ zur x-Achse für θ ∈ {90^◦,45^◦,60^◦,30^◦} explizit an, ohne dabei Winkelfunktionen (sin, cos) zu verwenden (vielleicht dann mit dem Satz des Pythagoras?). Berechnen Sie als Probe die Produkte \( {D^2_{45}} \), \( {D^2_{30}} \), \( {D_{30}} \) ◦ \( {D_{60}} \), \( {S_{90}} \) ◦ \( {S_{45}} \).

Problem

Wie soll das gehen, hat jemand eine Ahnung... Selbst wenn das mit Pythagoras gehen sollte wüste ich nicht wie :(

Answer 1

Sei

        \(A = \begin{pmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}\\a_{2,1}&a_{2,2}\end{pmatrix}\).

Geben Sie die Matrizen Dθ ∈ SO(2) für die Drehung um den Winkel θ ... explizit an

Die Matrix muss zum Beispiel

        \(A\cdot \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\Re(e^{\mathrm{i}\theta})\\\Im(e^{\mathrm{i}\theta})\end{pmatrix}\)

erfüllen, weil \(1+0\mathrm{i}\) nach \(e^{\mathrm{i}\theta}\) gedreht wird.

Stelle so eine weitere Gleichungen auf und löse das Gleichungssystem.

Comments

Magst / Könntest du mir das einmal vor machen für eine Drehung um 90° stehe irgendwie auf dem schlauch.

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Für \(\theta = 90°\) ist \(e^{\mathrm{i}\theta} = 0 + 1\mathrm{i}\), also \(\Re(e^{\mathrm{i}\theta}) = 0\) und \(\Im(e^{\mathrm{i}\theta}) = 1\). Die Gleichung

        \(A\cdot \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\Re(e^{\mathrm{i}\theta})\\\Im(e^{\mathrm{i}\theta})\end{pmatrix}\)

wird dann zu

      \(\begin{pmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}\\a_{2,1}&a_{2,2}\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\),

welche durch Ausrechnen der Matrix-Vektormultiplikation und Komponentenvergleich in die zwei Gleichungen

        \(1a_{1,1}+0a_{1,2} = 0\)

und

      \(1a_{2,1}+0a_{2,2} = 1\)

aufgeteilt werden kann.

Stelle so drei weitere Gleichungen auf und löse das Gleichungssystem.

Es sind nicht drei weitere Gleichungen der Form

        \(A\cdot \vec x = \vec y\)

notwendig, sondern nur eine.

Verfahre also ebenso indem du dir überlegst, wohin der Punkt \((0|1)\) gedreht wird.