Wahrscheinlichkeitstheorie..

Question

(Charakterisierung von Laplace-Transformierten)

Gegeben sei eine Funktion ψ : [0,∞) → ℝ. Zeige die Äquivalenz folgender Aussagen:

(i) ψ ist die Laplace-Transformierte eines WahrscheinlichkeitsmaßesP auf ([0,∞),B∩[0,∞)),

d.h. ψ(λ) = ψ_P(λ) := \int { e{ −λx }\quad P(dx) }  für alle λ ∈ [0,∞).

(ii) Es gilt ψ(0) = 1, ψ ist rechtsstetig in 0 und ψ ist komplett monoton.

Hinweis zu „(ii) ⇒ (i)“: Zeige, dass für jedes n ∈ N durch Pn(k/n) := (−n)^kψ^(k)(n)/k!, k ∈ ℕ₀,ein Wahrscheinlichkeitsmaß P_n auf ([0,∞),B ∩ [0,∞)) definiert ist. Bestimme die Laplace-Transformierte von P_n und wende den Stetigkeitssatz für Laplace-Transformierte an.

Stetigkeitssatz für Laplace-Transformierte:

Für jede Folge (P_n)_n∈N von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf ([0,∞),B ∩[0,∞)) gilt:

(I) P_n → P_{\xrightarrow [ d ]{ n→∞ }} , P Wahrscheinlichkeitsmaß ⇒ (ψ_Pn)_n∈N konvergiert auf jeder kompakten

Teilmenge von [0,∞) gleichmäßig gegen ψ_P.

(II) lim_n→∞ ψ_Pn(λ) = ψ(λ) für alle λ ∈ [0,∞), wobei ψ rechtsstetig in 0 ⇒ ψ ist die LaplaceTransformierte eines (eindeutig bestimmten) Wahrscheinlichkeitsmaßes P auf ([0,∞),B∩

[0,∞)) und P_n→P \xrightarrow [ d ]{ n→∞ } .