Ist die Funktionen gerade oder ungerade? Bsp.: f(x)=sinh(x)

Question

Berechnen Sie welche der folgenden Funktionen gerade oder ungerade sind.

Bsp.: f(x)=sinh(x)

Wie überprüfe ich ob die Funktion gerade oder ungerade ist?

Answer 1

Das ist das Gleiche, wie wenn du auf Symmetrie zur y-Achse oder zum Koordinatenursprung testest. Dazu einiges hier:

https://www.matheretter.de/wiki/achsensymmetrie

Für gerade Funktionen gilt f(x) = f(-x).

Für ungerade Funktionen gilt f(x) = -f(-x)

Comments

Ich habe Beispielwerte eingesetzt, wäre es formal okay zu schreiben:

bei f(x)= tan(x)   f(-x)= tan(-x)

f(5)=-3,38    f(-5) = 3,38

f(5)=-f(-5)

tan(x) = -tan(x) ⇒tan (x) ist punktsymmetrisch

???

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Als Anfang schon mal gut. Du musst das aber allgemein (für alle x) begründen. 

Dann musst du dich noch um die gegebene Funktion kümmern. Wie habt ihr sinh(x) definiert? 

Dann

f(-x)=sinh(-x)  

Definition einsetzen und

so lange umformen, bis ungefähr sinh(x) dasteht. 

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Also bei sinh(x) bin ich darauf gekommen, dass sinh(x) punktsymmetrisch.

sinh(x)= (e^x-e^{-x}) /2    sinh(-x) = (e^{-x}-e^x)/2         sinh(x) = -sinh (-x)

Ich verstehe aber nicht, wie ich es für alle x begründen kann...

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 -sinh(-x) = -(e^-x-e^x)/2  = (e^x - e^{-x})/2 = sinh(x) 

Das gilt für alle x. q.e.d.