Integrierte gerade und ungerade Funktionen

Question

Hi,

Ich habe extrem viele Fragen zu dieser Aufgabe:

1. Er will zeigen, dass (g_n|g_m)=0 fängt aber mit cos im Integral an, wieso das? Wieso nicht einfach g_n(x) in das Integral einsetzen (und dann vielleicht (1/sqrt(pi))^2 weglassen?)

2. Wie folgt aus der Differenz der 2 Integrale mit n =/= m das (g_n|g_m)=0? Der Faktor (n/m)-(m/n) wird doch nur dann 0 wenn n==m oder -n==m. Und sin² ist gerade, also ist das Integral schonmal nicht immer 0.

3. "Wir zeigen nun (g_n|g_n) = 0" soll wohl = 1 heißen? Hier wird mit sin² gerechnet anstatt mit cos² wieso? Weil man hier den Vorfaktor (1/sqrt(pi))^2 unverändert braucht?

Answer 1

Hi,
zu (1)
um \( (g_n,g_m) = 0 \) für \( n \ne m \) zu zeigen, muss das Integral \( \int_{-\pi}^\pi \sin(nx) \sin(mx) dx \)  berechnet werden. Das geht durch partielle Integration. Einmal \( u' = \sin(nx) \) und \( v = \sin(mx) \) und einmal \( v = \sin(nx) \) und \( u' = \sin(mx) \). Im Lösungsvorschlag wurde \( (f_n,f_m) \) berechnet, was falsch ist.

zu (2)
Wenn man den Ausdruck \( \left( \frac{n}{m}-\frac{m}{n} \right) \int_{-\pi}^\pi \sin(nx) \sin(mx) dx = 0 \) betrachtet, folgt \( \frac{n^2-m^2}{n \cdot m} \int_{-\pi}^\pi \sin(nx) \sin(mx) dx = 0 \) Für \( n \ne m \) muss also das Integral Null sein.

zu (3)
die Funktion \( g_n(x) \) ist als \( g_n(x) = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \sin(nx) \) definiert, deshalb ist \( (g_n,g_n) = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi \sin(nx)^2 dx \)
Aus dem Lösungshinweis folgt \( 2 \int_{-\pi}^\pi \sin(nx)^2 dx = 2\pi \) also \( \int_{-\pi}^\pi \sin(nx)^2 dx = \pi \) also \( (g_n,g_n) = 1  \)

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