Integrierte gerade und ungerade Funktionen

Question

Hi,

Ich habe extrem viele Fragen zu dieser Aufgabe:

1. Er will zeigen, dass (g_n|g_m)=0 fängt aber mit cos im Integral an, wieso das? Wieso nicht einfach g_n(x) in das Integral einsetzen (und dann vielleicht (1/sqrt(pi))² weglassen?)

2. Wie folgt aus der Differenz der 2 Integrale mit n =/= m das (g_n|g_m)=0? Der Faktor (n/m)-(m/n) wird doch nur dann 0 wenn n==m oder -n==m. Und sin² ist gerade, also ist das Integral schonmal nicht immer 0.

3. "Wir zeigen nun (g_n|g_n) = 0" soll wohl = 1 heißen? Hier wird mit sin² gerechnet anstatt mit cos² wieso? Weil man hier den Vorfaktor (1/sqrt(pi))² unverändert braucht?

Answer 1

Hi,
zu (1)
um $(g_n,g_m) = 0$ für $n \ne m$ zu zeigen, muss das Integral $\int_{-\pi}^\pi \sin(nx) \sin(mx) dx$  berechnet werden. Das geht durch partielle Integration. Einmal $u' = \sin(nx)$ und $v = \sin(mx)$ und einmal $v = \sin(nx)$ und $u' = \sin(mx)$. Im Lösungsvorschlag wurde $(f_n,f_m)$ berechnet, was falsch ist.

zu (2)
Wenn man den Ausdruck $\left( \frac{n}{m}-\frac{m}{n} \right) \int_{-\pi}^\pi \sin(nx) \sin(mx) dx = 0$ betrachtet, folgt $\frac{n^2-m^2}{n \cdot m} \int_{-\pi}^\pi \sin(nx) \sin(mx) dx = 0$ Für $n \ne m$ muss also das Integral Null sein.

zu (3)
die Funktion $g_n(x)$ ist als $g_n(x) = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \sin(nx)$ definiert, deshalb ist $(g_n,g_n) = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi \sin(nx)^2 dx$
Aus dem Lösungshinweis folgt $2 \int_{-\pi}^\pi \sin(nx)^2 dx = 2\pi$ also $\int_{-\pi}^\pi \sin(nx)^2 dx = \pi$ also $(g_n,g_n) = 1$

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