Vollständige Induktionen. Bsp. 4n^3 - n ist durch 3 teilbar für alle n≥ 0.

Question

Ich bräuchte eine Hilfe zur vollständigen Induktionen folgender Aufgabe, ich bin regelrecht verzweifelt. Habe mit zu diesem Thema schon viele Lernvideos angesehen doch leider bringe ich nichts auf die Beine. Ich wär euch um Hilfe bzw. Unterstützung sehr dankbar. Ich muss die Aufgabe bis Freitag abgegeben haben und verzweifel regelrecht.

Answer 1

a) Prüfst erst mal ob es für n=1 wahr ist :

Die Summe ist dann nur 2*1-1 und das ist = 1 . bingo!

wenn die Formel für ein n stimmt, dann musst du daraus die

Gültigkeit für n+1 herleiten.

Summe bis n+1 = summe bis n + (n+1)-ter Summand

Das rote ist ja bekannt , nämlich n^2 also weiter  mit

= n^2 + 2(n+1) -   1

= n^2 + 2n + 1 = (n+1)^2   Bingo, das sagt schließlich auch

die Formel für n+1.

Versuch b) mal selbst und stell was rein.

Comments

Ich weiß nicht ob ich das bisher ganz verstanden habe ... Also ich setze n+1 ein

4*(n+1)³  - (n+1) richtig ?

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genau und dann führst du es auf die alte Formel zurück

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Wie meinst du das auf die alte Formel zurückführen, wenn ich das ausmultipliziere

Komme ich bis zu diesem Schnitt (n+1)*4*(n+1)² -1 und wenn ich das noch weiter ausmultipliziere ist das aber nicht das selbe wie oben , wo ist der Fehler ?

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4*(n+1)³  - (n+1)

= 4(n^3 + 3n^2 + 3n + 1) - n - 1

=4n^3 + 12n^2 + 12n + 4 - n - 1

= 4n^3 - n + 3*4n^2 + 3*4n + 3

Und der rote Term ist durch 3 teilbar, weil ja die

Aussage für n gelten soll. und die anderen 3 Summanden

sind alle durch 3 teilbar, weil der Faktor 3 drin steckt.

Und die Summe von mehreren durch 3 teilbaren Summanden

ist immer durch 3 teilbar.

Also ist auch  4*(n+1)³  - (n+1) durch 3 teilbar.  q.e.d.