Doppelter Betrag in einer Ungleichung: |x-|x-5|| < 3

Question

Ich weiß leider nicht wie man dopplete Beträge in einer Ungleichung löst,

|x-|x-5|| < 3 eigentlich bestimmt nicht schwer aber die dopplete Betrag verwirrt mich leider

kann mir das jemand "anschaulich" lösen  und erlären

Comments

Ich danke dir für die Antwort! :)
 WA sagt auch dieses Ergebnis. Ist dies der einzige Lösungsweg? 
Ich hab das mit verschiednen Fällen gelernt oder gibt es dazu eine bestimmte Formel, muss man dies so abschätzen, ermittlen?

Warum soll der Abstand zwischen den -3 sein? Betrag sagt doch eigentlich nur aus, das es postiv oder negativ sein könnte? Somit müsste beide Ergebnisse doch verschiedene Fälle haben oder bin ich da falsch?

Answer 1

|x-|x-5|| < 3

äusseres Betrag:

Der Abstand zwischen x und  |x-5|  soll kleiner als 3 sein.

Beispiele für "Grenzfälle" überlegen:

1 und |1-5|=|-4| sind genau 3 voneinander entfernt. 

4 und |4-5| = |-1|  sind ebenfalls genau 3 auseinander.

Nun vielleicht etwas dazwischen?

3 und |3-5|= |-2|  sind weniger als 2 auseinander.

Daher der ganze Bereich zwischen 1 und 4 der gesuchte Lösungsbereich. 

L = {x Element R| 1 < x < 4} 

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Ich danke dir für die Antwort! :) 
 WA sagt auch dieses Ergebnis. Ist dies der einzige Lösungsweg?  
Ich hab das mit verschiednen Fällen gelernt oder gibt es dazu eine bestimmte Formel, muss man dies so abschätzen, ermittlen?

Warum soll der Abstand zwischen den -3 sein? Betrag sagt doch eigentlich nur aus, das es postiv oder negativ sein könnte? Somit müsste beide Ergebnisse doch verschiedene Fälle haben oder bin ich da falsch?

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EDIT: War bei den Beträgen noch am editieren.

Du wolltest eine "anschauliche" Lösung.

Formale Fallunterscheidungen und Rechnung sind natürlich nicht verboten.

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Könntest du es mal in Fallunterscheidungs Verfahren machen oder andeuten?

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Fall 1. x> 5

|x-(x-5)| < 3

| 5| < 3 geht nicht. x kann nicht grösser als 5 sein. 

Fall 2. x ≤ 5

|x + (x-5)| < 3

| 2x - 5| < 3 

Fall 2a) x ≥ 2.5

2x - 5 < 3

2x < 8

x < 4.

L_(2a) = { x | 2.5 ≤ x <4 }

Fall 2b) x < 2.5

-(2x - 5) < 3

-2x + 5 < 3

2 < 2x

1 < x 

L_(2b) = { x | 1 < ≤ x <2.5 }

Zusammen.

L = L_(2a) ∪ L_(2b) = { x | 1 < x < 4}