Wie löse ich diese Ungleichung ...? 1/x < 2 bzw. 1/x ≥ 2.

Question

Das in Kugelschreiber habe ich von der Tafel abgeschrieben und das farbige ist von mir. Verstehe nicht wie man bei der Ungleichung 1/x <2 ab dem schritt in dem die Ungleichungen nach x umgeformt werden auf x>1/2 und x<0 kommt. Das würde ja bedeuten, dass das Intervall I = 1/2<x<0 kommt was keinen sinn macht und nicht stimmt.

Also die Frage lautet wie man von den Bedingungen, die man für x in der großen Klammer angegeben hat auf das letztliche Intervall kommt

Würde mich über verständliche Antworten freuen.

Danke :)

Comments

EDIT: Ich sehe leider die Ungleichungen nicht wirklich gut auf deinem Bild.

Es geht dir um die Ungleichung 1/x < 2 ? Ich habe diese in die Überschrift übernommen.

Answer 1

deine Ungleichung lautet 1/x<2, das Problem ist die Multiplikation mit einer negativen Zahl, darum eine Fallunterscheidung:

1. Fall: x>0, du kannst problemlos mit x multiplizieren, das Relationszeichen bleibt erhalten

1/x<2

1<2x

1/2<x

jetzt hast du x>0 und x>1/2, für die Lösungsmenge also x>1/2

2. Fall: x<0, bei der Multiplikation mit x kehrt sich das Relationszeichen um

1/x<2

1>2x

1/2>x

jetzt hast du x<0 und x<1/2, für die Lösungsmenge also x<0

Comments

aber die Lösungsmenge x > 1/2 und x<0 ergibt doch keinen sinn, dass wäre doch das Intervall I = 1/2 < x < 0 und das ist unlogisch

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1. Isomorphs Lösungen sind teilweise falsch

1.Fall für x > 0 gilt :
1 / x < 2  | * x
1 < 2 x | : 2
1/2 < x
x > 1/2
Mit der Eingangsvoraussetzung gilt
( x > 0 ) und ( x > 1 /2 ) =>
x > 1 / 2

2.Fall für x < 0 gilt :
1 / x < 2  | * x
1 > 2 x | : 2
1/2 > x
x < 1/2
Mit der Eingangsvoraussetzung gilt
( x < 0 ) und ( x < 1 /2 ) =>
x < 0

Richtig sind die Bereiche
] -∞ ; 0 [  und
] 1/2  ; ∞ [

Malt euch bitte einen Zahlenstrahl auf und markiert einmal
die Bereiche. Falls ihr das nicht schafft kann ich das auch einmal
hier einstellen.

Der Bereich [ 0 ; 1/ 2 ] liegt zwischen den Bereichen und
gehört nicht zur Lösung.

@engel101
Dein Intervall ist leider falsch
Intervall I = 1/2 < x < 0 und das ist unlogisch  Genau.
Bei dir steht in der Kurzform, wenn ich das mittlere Glied weglasse,
1 /2 < 0

Eine offensichtlich falsche Ungleichung. Die ganz Kette kann nicht stimmen.
Die liegt nicht in einem Intervall sondern in 2 Bereichen.
Möglich wäre die Schreibweise
ℝ \  0 < x < 1/2

mfg Georg

Answer 2

Du hast richtig herausbekommen

1.Fall x > 1 /2
2. Fall x < 0

Markiere dir bitte auf einem Zahlenstrahl die Bereiche
( x > 1 /2  ) und  ( x < 0 ).
Der markierte Bereich ist dann die Lösungsmenge

~plot~ 1 / x  ; 2 ~plot~

Alles was unterhalb der roten Linie ist erfüllt die Ausgangsungleichung.