Wie löse ich folgende Gleichungen?

Question

√(x+1) = √(x-1) +1

√(x+1) = √(x-1) + √2

√(x+1) = √(x-1) +2

Irgendwie sollen wir da zweimal quadrieren... Wie macht man das?

!!

Answer 1

√(x + 1) = √(x - 1) + 1
√(x + 1) - √(x - 1) = 1
(x + 1) - 2 * √(x + 1) * √(x - 1) + (x - 1) = 1
2x - 2 * √(x + 1) * √(x - 1) = 1
2 * √(x + 1) * √(x - 1) = 2x - 1
4 * (x + 1) * (x - 1) = 4x^2 - 4x + 1
4 * (x^2 - 1) = 4x^2 - 4x + 1
4x^2 - 4 = 4x^2 - 4x + 1
4x = 5
x = 1.25

Comments

Der erste Schritt erscheint unnötig umständlich.
Warum hast Du nicht sofort quadriert?

Eine Probe wäre auch nötig.

---

Ich mache das noch mal allgemein mit dem Paramenter a rechts, damit es allgemein für alle Aufgaben ist.

√(x + 1) - √(x - 1) = a
(x + 1) - 2 * √(x + 1) * √(x - 1) + (x - 1) = a^2
2x - 2 * √(x + 1) * √(x - 1) = a^2
2 * √(x + 1) * √(x - 1) = 2x - a^2
4 * (x + 1) * (x - 1) = 4x² - 4xa^2 + a^4
4 * (x² - 1) = 4x² - 4xa^2 + a^4
4x² - 4 = 4x² - 4xa^2 + a^4
4xa^2 = a^4 + 4
x = (a^4 + 4) / (4a^2) = 0.25a^2 + 1/a^2

---

x = 0.25a² + 1/a²

für a = √2 wäre x = 1

für a = 2 wäre x = 1.25 (Hier stimmt die Probe nicht)

Answer 2

Ein etwas weniger aufwändiger Weg wäre es, sofort zu quadrieren:

√(x + 1) = √(x - 1) + a
x + 1 = x - 1 + 2a√(x - 1) + a^2
2 - a^2 = 2a√(x - 1)
1/a - a/2 = √(x - 1)
(1/a - a/2)^2 = x - 1
(1/a - a/2)^2 + 1 = x
(1/a)^2 + (a/2)^2 = x

Nun für a = 1, √2 und 2 die Probe rechnen.